y_p=-t^{2}\Big(-\ln t -\frac{1}{6}t^{-2}+C_1\Big)+t^{-1}\Big(-\frac{t^{3}}{3}+\frac{1}{3}t + C_2\Big).
Expandindo:
y_p=t^{2}\ln t + \frac{1}{6} - C_1 t^{2} -\frac{t^{2}}{3}+\frac{1}{3}+C_2 t^{-1}.
Os termos com C_1 t^{2} e C_2 t^{-1} são múltiplos das soluções homogêneas e podem ser incorporados nas constantes C_1,C_2 da solução homogênea. Assim podemos escolher os valores das constantes de integração nas integrais para simplificar y_p. Escolhendo as constantes de forma conveniente (por exemplo anulando os termos homogêneos que apareceram), obtemos uma forma simples de particular:
y_p(t)=t^{2}\ln t+\frac{1}{2}.
Verificação rápida (opcional): derivando e substituindo volta na equação padrão confirma que esta função satisfaz a equação não-homogênea.
Passo 8
Finalmente, a solução geral da equação não-homogênea é soma da homogênea com a particular: