1. Considere a equação diferencial
t^{2} y^{\prime \prime}-2 y=3 t^{2}-1, \quad t>0 .
Sabe-se que a função
$$y_{1}(t)=t^{2}é uma solução da equação homogênea associada.
(c) Encontre uma solução particular da equação não-homogênea e escreva a solução geral da EDO não homogênea.

Passo 1

  • Equação dada: t^{2}y''-2y=3t^{2}-1,\qquad t>0.
  • Informação adicional: sabe-se que y_{1}(t)=t^{2} é uma solução da equação homogênea associada.
  • O que pede (parte (c)): (i) encontrar uma solução particular da equação não-homogênea; (ii) escrever a solução geral da EDO não-homogênea.

Passo 2

Primeiro passo prático: colocar a EDO na forma padrão (coeficiente de y'' igual a 1), dividindo por t^{2} (válido pois t>0):
y''-\frac{2}{t^{2}}y=3-\frac{1}{t^{2}}.
Aqui a parte não-homogênea (função lado direito) é g(t)=3-\frac{1}{t^{2}}.
A equação homogênea correspondente é
y''-\frac{2}{t^{2}}y=0.
Já temos uma solução da homogênea: y_1(t)=t^2.

Passo 3

Vamos obter a segunda solução independente da homogênea. Usamos a técnica de redução de ordem. Para a equação
y''+P(t)y'+Q(t)y=0
uma segunda solução pode ser escrita como
y_2=y_1\int \frac{e^{-\int P(t)\,dt}}{y_1^{2}}\,dt.
Na nossa forma padrão temos P(t)=0 (não há termo em y'), logo e^{-\int P}=1 e a fórmula simplifica para
y_2=y_1\int \frac{1}{y_1^{2}}\,dt.
Como y_1=t^{2} temos y_1^{2}=t^{4}, então
\int \frac{1}{y_1^{2}}\,dt=\int t^{-4}\,dt=\int t^{-4}\,dt=-\frac{1}{3}t^{-3}+C.
Tomando a constante de integração C=0 (qualquer constante apenas gera combinação linear com a primeira solução), obtemos
y_2=t^{2}\cdot\left(-\frac{1}{3}t^{-3}\right)=-\frac{1}{3}t^{-1}.
Como só precisamos de uma solução independente, podemos multiplicar por constante e tomar
y_2(t)=t^{-1}.

Passo 4

Assim, uma base de soluções da homogênea é \{t^{2},\,t^{-1}\} e a solução geral da homogênea é
y_h(t)=C_{1}t^{2}+C_{2}t^{-1}.

Passo 5

Agora buscamos uma solução particular y_p da equação não-homogênea. Usamos o método de variação de parâmetros para a equação na forma padrão
y''+P(t)y'+Q(t)y=g(t)
(com P=0, Q=-2/t^{2}, g(t)=3-1/t^{2}). A fórmula de variação de parâmetros para ordem 2 dá
y_p=-y_1\int \frac{y_2\,g}{W}\,dt + y_2\int \frac{y_1\,g}{W}\,dt,
onde W=W[y_1,y_2] é o wronskiano de y_1,y_2.

Passo 6

Calcular o wronskiano. Com y_1=t^{2}, y_1'=2t, y_2=t^{-1}, y_2'=-t^{-2},
W=\begin{vmatrix}t^{2} & t^{-1}\\[4pt] 2t & -t^{-2}\end{vmatrix}=t^{2}(-t^{-2})-t^{-1}(2t)=-1-2=-3.
Então W=-3 (constante simples, ótimo!).
Calcular as frações dentro das integrais:
\frac{y_2\,g}{W}=\frac{t^{-1}\left(3-\dfrac{1}{t^{2}}\right)}{-3} = -\frac{1}{3}t^{-1}\left(3-\frac{1}{t^{2}}\right) = -t^{-1}+\frac{1}{3}t^{-3},
\frac{y_1\,g}{W}=\frac{t^{2}\left(3-\dfrac{1}{t^{2}}\right)}{-3} = -\frac{1}{3}t^{2}\left(3-\frac{1}{t^{2}}\right) = -t^{2}+\frac{1}{3}.]

Passo 7

Integrar as expressões:
\int\frac{y_2\,g}{W}\,dt=\int\left(-t^{-1}+\frac{1}{3}t^{-3}\right)dt = -\ln t + \frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}t^{-2}\right) + C_1 = -\ln t -\frac{1}{6}t^{-2}+C_1,
\int\frac{y_1\,g}{W}\,dt=\int\left(-t^{2}+\frac{1}{3}\right)dt = -\frac{t^{3}}{3}+\frac{1}{3}t + C_2.
Agora aplicar a fórmula de y_p:
y_p=-t^{2}\Big(-\ln t -\frac{1}{6}t^{-2}+C_1\Big)+t^{-1}\Big(-\frac{t^{3}}{3}+\frac{1}{3}t + C_2\Big).
Expandindo:
y_p=t^{2}\ln t + \frac{1}{6} - C_1 t^{2} -\frac{t^{2}}{3}+\frac{1}{3}+C_2 t^{-1}.
Os termos com C_1 t^{2} e C_2 t^{-1} são múltiplos das soluções homogêneas e podem ser incorporados nas constantes C_1,C_2 da solução homogênea. Assim podemos escolher os valores das constantes de integração nas integrais para simplificar y_p. Escolhendo as constantes de forma conveniente (por exemplo anulando os termos homogêneos que apareceram), obtemos uma forma simples de particular:
y_p(t)=t^{2}\ln t+\frac{1}{2}.
Verificação rápida (opcional): derivando e substituindo volta na equação padrão confirma que esta função satisfaz a equação não-homogênea.

Passo 8

Finalmente, a solução geral da equação não-homogênea é soma da homogênea com a particular:
y(t)=C_{1}t^{2}+C_{2}t^{-1}+t^{2}\ln t+\frac{1}{2}.

Resposta

y_p(t)=t^{2}\ln t+\dfrac{1}{2}
y(t)=C_{1}t^{2}+C_{2}t^{-1}+t^{2}\ln t+\dfrac{1}{2}

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