Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
y^prime prime+(6-2 * 5) y^prime+(4+2)^2 y=0, y(0)=3, y^prime(0)=-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo $ y’’ + a y’ + b y = 0 $ e algumas condições iniciais. Para resolver, vamos precisar usar teoria das equações diferenciais com coeficientes constantes e aplicar condições iniciais para achar as constantes da solução.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. O enunciado nos dá:
y'' + (6 - 2 times 5) y' + (4 + 2)^2 y = 0
Calculando os coeficientes:
6 - 10 = -4 e (4 + 2)^2 = 36
Então, a equação fica:
y'' - 4y' + 36y = 0

Passo 3

Agora, vamos achar a solução geral dessa equação. Para isso, montamos a equação característica, que é uma equação quadrática associada:
r^2 - 4r + 36 = 0

Passo 4

Resolvendo a equação característica usando a fórmula de Bhaskara:
r = 4 pm raiz(-4)^2 - 4 times 1 times 362 = 4 pm raiz16 - 1442 = 4 pm raiz-1282
Simplificando a raiz:
raiz-128 = 8i raiz2
Então, os valores de $ r $ são:
r

Passo 5

Como as raízes são complexas $ 2 \pm 8i $, a solução geral da equação diferencial é:
2 pm 8i
Aqui, $ C $ e $ D $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 6

Aplicando a primeira condição inicial $ y(0) = 3 $:
y(0) = 3
Então, $ C = 3 $.

Passo 7

Agora, derivamos $ y(t) $ para aplicar a segunda condição inicial $ y’(0) = -1 $:
y(t)
Calculando em $ t = 0 $:
y'(0) = -1
Resolvendo para $ D $:
y'(t) = 2e^2t ( 3 cos(8t) - 78 sin(8t) ) + e^2t ( -24 sin(8t) + 24 cos(8t) )

Resposta

A solução da equação é:
y(t) = e^2t ( 3 cos(8t) - 78 sin(8t) )

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