Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo $ y’’ + a y’ + b y = 0 $ e algumas condições iniciais. Para resolver, vamos precisar usar teoria das equações diferenciais com coeficientes constantes e aplicar condições iniciais para achar as constantes da solução.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação. O enunciado nos dá:
Calculando os coeficientes:
Então, a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos achar a solução geral dessa equação. Para isso, montamos a equação característica, que é uma equação quadrática associada:
Passo 4
Resolvendo a equação característica usando a fórmula de Bhaskara:
Simplificando a raiz:
Então, os valores de $ r $ são:
Passo 5
Como as raízes são complexas $ 2 \pm 8i $, a solução geral da equação diferencial é:
Aqui, $ C $ e $ D $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 6
Aplicando a primeira condição inicial $ y(0) = 3 $:
Então, $ C = 3 $.
Passo 7
Agora, derivamos $ y(t) $ para aplicar a segunda condição inicial $ y’(0) = -1 $:
Calculando em $ t = 0 $:
Resolvendo para $ D $:
Resposta
A solução da equação é: