Resolva a equação diferencial (1+x^2) y^prime-y=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial (1+x^2)y' - y = 0. Esse é um problema de EDO de primeira ordem cujo termo em y aparece de forma que podemos usar separação de variáveis ou reconhecer que é homogênea e linear. Para resolver, vamos separar as variáveis de y e x.

Passo 2

Primeiro, dividimos toda a equação por 1+x^2 para isolar y':
y' - y1+x^2 = 0
Ou seja,
y' = y1+x^2

Passo 3

Agora fazemos a separação de variáveis. Escrevemos y' = dydx e agrupamos termos em y de um lado e termos em x do outro:
1y,dy = 11+x^2,dx
Em seguida, integramos ambos os lados:
integral 1y,dy = integral 11+x^2,dx

Passo 4

Ao integrar temos
ln|y| = arctan(x) + C,
onde C é a constante de integração.
Para eliminar o logaritmo, exponenciamos:
|y| = e^arctan(x) + C = e^C ;e^arctan(x)
Chamando C1 = pm e^C, obtemos a forma geral da solução.

Passo 5

Portanto, a solução geral da EDO é
y(x) = C1 ;e^arctan(x), C1inR

Resposta

y(x) = C,e^arctan(x)

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