Considere a equaçâo diferencial x+(x^2 y+4 y) d yd x=0
Verifique que a função mu(y) encontrada é realmente uma fator integrante para a equação dada.

Passo 1

Reescrevemos a equação na forma diferencial
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
identificando
M(x,y) = x, N(x,y) = x^2y + 4y
Verificamos que não é exata, pois
partial Mpartial y = 0 neq partial Npartial x = 2xy
Como a falta de exatidão satisfaz
partial Npartial x-partial Mpartial yM =2xy-0x=2y,
vemos que existe um fator integrante dependendo só de y.

Passo 2

Para um fator integrante mu(y) depende só de y, a condição de exatidão torna-se
dmudy,M + mu,partial Mpartial y =mu,partial Npartial x ;Longrightarrow; 1mudmudy =partial Npartial xM =2y
Integramos em y:
dmumu = 2y,dy Longrightarrow lnmu = y^2 + C Longrightarrow mu(y) = e^y^2

Passo 3

Agora verificamos que mu(y)=e^y^2 torna exata a equação multiplicada por mu. Calculamos
tilde M = mu,M = x,e^y^2, tilde N = mu,N = e^y^2(x^2y+4y)
Então
partialtilde Mpartial y = xcdot 2y,e^y^2 =2xy,e^y^2, partialtilde Npartial x = e^y^2cdot 2xy =2xy,e^y^2,
logo partialtilde M/partial y = partialtilde N/partial x e a equação é exata.

Resposta

mu(y)=e^y^2 é um fator integrante para a equação dada.

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