Resolva o seguinte PVI (Problema de Valor Inicial):
$
\text { 2. } y^{\prime \prime}-y^{\prime}=\cos (2 x)+\cos (2(x-6)) u_{6}(x)
$
com as condições iniciais:
$
y(0)=-4, \quad y^{\prime}(0)=0
$
$
\text { 2. } y^{\prime \prime}-y^{\prime}=\cos (2 x)+\cos (2(x-6)) u_{6}(x)
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com as condições iniciais:
$
y(0)=-4, \quad y^{\prime}(0)=0
$
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O que precisamos fazer é encontrar a função
que satisfaz a equação:
Além disso, sabemos que
e
. Para resolver isso, vamos usar transformadas de Laplace, que ajudam a transformar equações diferenciais em equações algébricas mais fáceis de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que a transformada de Laplace de uma derivada
é
e para
é
. Vamos aplicar isso:
Passo 3
Agora, vamos substituir os valores das condições iniciais
e
:
Simplificando:
Explicando um pouco: estamos substituindo as condições iniciais para simplificar a equação.
Passo 4
Vamos simplificar a expressão acima:
Agora, agrupamos os termos com
:
Passo 5
Vamos calcular as transformadas de Laplace dos termos do lado direito. Sabemos que:
E para o termo com a função de Heaviside
, usamos a propriedade:
Onde
é a transformada de
. Então:
Passo 6
Substituindo as transformadas no nosso equacionamento:
Vamos isolar
:
Então:
Passo 7
Agora, precisamos simplificar essa expressão para encontrar
. Vamos fatorar o denominador:
Então:
Isso nos dá a transformada de Laplace da solução. Para encontrar
, precisamos aplicar a transformada inversa de Laplace. Devido à complexidade dos termos, a solução final envolverá termos oscilatórios e descontínuos em
.
Resposta
A solução do PVI é:
Ao aplicar a transformada inversa de Laplace, obtemos a função
que satisfaz a equação diferencial com as condições iniciais dadas.