Dada a função
G(s)=3 s+8 e^-20 s-2 s e^-3 s+6 e^-7 ss^2(s+3)
encontre a transformada de Laplace inversa:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a transformada de Laplace inversa da função G(s) = 3s + 8e^-20s - 2se^-3s + 6e^-7ss^2(s+3) . Estamos trabalhando com transformadas de Laplace, que são ferramentas poderosas para resolver equações diferenciais e analisar sistemas no domínio da frequência. Para resolver isso, vamos precisar decompor a função G(s) em partes mais simples usando frações parciais e entender como as exponenciais e^-as afetam a transformada inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a função G(s) em partes individuais para facilitar a análise:
G(s) = 3ss^2(s+3) + 8e^-20ss^2(s+3) - 2se^-3ss^2(s+3) + 6e^-7ss^2(s+3)
Agora, vamos focar na primeira fração sem o termo exponencial:
3ss^2(s+3)

Passo 3

Vamos simplificar essa fração realizando uma decomposição em frações parciais. Queremos encontrar constantes A , B e C tais que:
3ss^2(s+3) = As + Bs^2 + Cs+3
Multiplicando ambos os lados por s^2(s+3) para eliminar os denominadores:
3s = A s (s + 3) + B (s + 3) + C s^2

Passo 4

Vamos determinar os valores de A , B e C substituindo valores específicos de s :
  • Para s = 0 :
0 = A cdot 0 cdot 3 + B cdot 3 + C cdot 0 Rightarrow 0 = 3B Rightarrow B = 0
  • Para s = -3 :
3(-3) = A cdot (-3) cdot 0 + B cdot 0 + C cdot 9 Rightarrow -9 = 9C Rightarrow C = -1
  • Para s = 1 (valores arbitrários para resolver para A ):
3(1) = A cdot 1 cdot 4 + 0 + (-1) cdot 1 Rightarrow 3 = 4A - 1 Rightarrow 4A = 4 Rightarrow A = 1

Passo 5

Agora que encontramos A = 1 , B = 0 e C = -1 , podemos escrever a fração original como:
3ss^2(s+3) = 1s - 1s+3

Passo 6

Vamos encontrar a transformada de Laplace inversa de cada termo:
  • L^-1 1s = 1
  • L^-1 1s+3 = e^-3t
Então, a transformada de Laplace inversa da primeira fração é:
L^-1 3ss^2(s+3) = 1 - e^-3t

Passo 7

Agora, vamos lidar com os termos que contêm e^-as . Na transformada de Laplace, multiplicar por e^-as corresponde a um atraso (ou deslocamento) no tempo na transformada inversa. A regra geral é:
L^-1 e^-as F(s) = f(t - a)u(t - a)
onde u(t - a) é a função degrau unitário que “liga” a função f(t - a) a partir do tempo t = a .
Vamos aplicar isso aos nossos termos:
  1. Para 8e^-20ss^2(s+3) :
L^-1 8e^-20ss^2(s+3) = 8(1 - e^-3(t - 20))u(t - 20)
  1. Para -2se^-3ss^2(s+3) :
L^-1 -2se^-3ss^2(s+3) = -2(1 - e^-3(t - 3))u(t - 3)
  1. Para 6e^-7ss^2(s+3) :
L^-1 6e^-7ss^2(s+3) = 6(1 - e^-3(t - 7))u(t - 7)

Passo 8

Finalmente, juntando todas as partes, a transformada de Laplace inversa de G(s) é a soma das transformadas inversas de cada termo:
g(t) = (1 - e^-3t) + 8(1 - e^-3(t - 20))u(t - 20) - 2(1 - e^-3(t - 3))u(t - 3) + 6(1 - e^-3(t - 7))u(t - 7)

Resposta

A transformada de Laplace inversa de G(s) é:
g(t) = (1 - e^-3t) + 8(1 - e^-3(t - 20))u(t - 20) - 2(1 - e^-3(t - 3))u(t - 3) + 6(1 - e^-3(t - 7))u(t - 7)
Onde u(t - a) é a função degrau unitário que ativa cada termo a partir do tempo t = a .

Exercícios relacionados