Dada a função
encontre a transformada de Laplace inversa:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a transformada de Laplace inversa da função
. Estamos trabalhando com transformadas de Laplace, que são ferramentas poderosas para resolver equações diferenciais e analisar sistemas no domínio da frequência. Para resolver isso, vamos precisar decompor a função
em partes mais simples usando frações parciais e entender como as exponenciais
afetam a transformada inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a função
em partes individuais para facilitar a análise:
Agora, vamos focar na primeira fração sem o termo exponencial:
Passo 3
Vamos simplificar essa fração realizando uma decomposição em frações parciais. Queremos encontrar constantes
,
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Passo 4
Vamos determinar os valores de
,
e
substituindo valores específicos de
:
- Para
:
- Para
:
- Para
(valores arbitrários para resolver para ):
Passo 5
Agora que encontramos
,
e
, podemos escrever a fração original como:
Passo 6
Vamos encontrar a transformada de Laplace inversa de cada termo:
Então, a transformada de Laplace inversa da primeira fração é:
Passo 7
Agora, vamos lidar com os termos que contêm
. Na transformada de Laplace, multiplicar por
corresponde a um atraso (ou deslocamento) no tempo na transformada inversa. A regra geral é:
onde
é a função degrau unitário que “liga” a função
a partir do tempo
.
Vamos aplicar isso aos nossos termos:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 8
Finalmente, juntando todas as partes, a transformada de Laplace inversa de
é a soma das transformadas inversas de cada termo:
Resposta
A transformada de Laplace inversa de
é:
Onde
é a função degrau unitário que ativa cada termo a partir do tempo
.