Use uma integral de convolução para encontrar a transformada inversa da seguinte função:
H(s)=1(s^2+a^2)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada de Laplace! A gente precisa encontrar a transformada inversa da função H(s) = 1(s^2 + a^2)^2 usando a integral de convolução. Para isso, vamos precisar saber sobre transformadas de Laplace e a propriedade de convolução que relaciona a multiplicação no domínio de s com a convolução no tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transformada inversa de 1s^2 + a^2 é sin(a t)a . Isso porque sabemos que Lsin(a t) = as^2 + a^2 . Então, se tivermos 1(s^2 + a^2)^2 , isso é como ter (1s^2 + a^2) multiplicado por (1s^2 + a^2) .

Passo 3

Agora, pela propriedade da convolução, a transformada inversa de um produto de duas funções no domínio de s é a convolução das transformadas inversas dessas funções no domínio do tempo. Ou seja:
L^-11(s^2 + a^2)^2 = ( sin(a t)a ) * ( sin(a t)a )

Passo 4

Vamos calcular essa convolução. A definição de convolução é:
(f * g)(t) = integral0^t f(tau) g(t - tau) , dtau
Substituindo f(tau) = sin(a tau)a e g(t - tau) = sin(a (t - tau))a , temos:
integral0^t sin(a tau)a cdot sin(a (t - tau))a , dtau = 1a^2 integral0^t sin(a tau) sin(a (t - tau)) , dtau

Passo 5

Para resolver essa integral, usamos a identidade trigonométrica:
sin(A) sin(B) = 12 [cos(A - B) - cos(A + B)]
Aplicando isso, temos:
1a^2 cdot 12 integral0^t [cos(a tau - a(t - tau)) - cos(a tau + a(t - tau))] , dtau
Simplificando os argumentos:
12a^2 integral0^t [cos(2atau - a t) - cos(a t)] , dtau

Passo 6

Integrando cada termo:
12a^2 [ sin(2atau - a t)2a - cos(a t) tau ]0^t
Avaliando nos limites:
12a^2 [ sin(a t)2a - cos(a t) t - ( sin(-a t)2a - 0 ) ]
Como sin(-a t) = -sin(a t) , simplificamos:
12a^2 [ sin(a t)2a - cos(a t) t + sin(a t)2a ] = 12a^2 [ sin(a t)a - cos(a t) t ]

Passo 7

Finalmente, juntando tudo:
L^-11(s^2 + a^2)^2 = t sin(a t)2 a

Resposta

A transformada inversa de H(s) = 1(s^2 + a^2)^2 é:
h(t) = t sin(a t)2 a

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