Use uma integral de convolução para encontrar a transformada inversa da seguinte função:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada de Laplace! A gente precisa encontrar a transformada inversa da função
usando a integral de convolução. Para isso, vamos precisar saber sobre transformadas de Laplace e a propriedade de convolução que relaciona a multiplicação no domínio de
com a convolução no tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a transformada inversa de
é
. Isso porque sabemos que
. Então, se tivermos
, isso é como ter
multiplicado por
.
Passo 3
Agora, pela propriedade da convolução, a transformada inversa de um produto de duas funções no domínio de
é a convolução das transformadas inversas dessas funções no domínio do tempo. Ou seja:
Passo 4
Vamos calcular essa convolução. A definição de convolução é:
Substituindo
e
, temos:
Passo 5
Para resolver essa integral, usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso, temos:
Simplificando os argumentos:
Passo 6
Integrando cada termo:
Avaliando nos limites:
Como
, simplificamos:
Passo 7
Finalmente, juntando tudo:
Resposta
A transformada inversa de
é: