Verifique se o Teorema de Existência e Unicidade garante a unicidade de solução do Problema de Valor Inicial:
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}=y^{3} \\\ y(0)=0 \end{array}\right.

Passo 1

O problema inicial dado é
\left\{\begin{array}{l} y'=y^{3},\\[4pt] y(0)=0. \end{array}\right.
O que se pede: verificar se o Teorema de Existência e Unicidade (o teorema de Picard–Lindelöf) garante unicidade da solução que satisfaz essa condição inicial.
Informações fornecidas:
  • A equação diferencial é autonôma e tem a forma y'=f(y) com f(y)=y^{3}.
  • A condição inicial é y(0)=0.]

Passo 2

Enunciado do Teorema de Existência e Unicidade (forma usada aqui, local):
Se f(t,y) for contínua em uma vizinhança do ponto (t_0,y_0) e for Lipschitz em y nessa mesma vizinhança (isto é, existe L>0 tal que |f(t,y_1)-f(t,y_2)|\le L|y_1-y_2| para todos y_1,y_2 na vizinhança), então existe um intervalo em torno de t_0 onde existe uma solução única do problema de valor inicial
y'(t)=f(t,y(t)),\qquad y(t_0)=y_0.
Explicando os conceitos de forma bem prática:
  • Continuidade de f significa que pequenas mudanças em (t,y) provocam pequenas mudanças em f.
  • Lipschitz em y é uma condição que controla quanto f pode variar em função de y; é mais forte que continuidade em y e garante que duas soluções que começam próximas não se separam instantaneamente.
Uma maneira simples de verificar Lipschitz é checar se a derivada parcial \partial f/\partial y existe e é contínua: então f é localmente Lipschitz (em qualquer intervalo de y limitado).

Passo 3

Aplicando o teste à nossa função f(y)=y^{3}.
Calcule a derivada em relação a y:
f'(y)=\frac{d}{dy}(y^{3})=3y^{2}.
Essa derivada é contínua em todo \mathbb{R}. Portanto, em qualquer intervalo de y limitado, f' é limitada, o que implica que f é Lipschitz nesse intervalo. Em particular, existe uma vizinhança de y=0 onde f é Lipschitz em y.
Além disso f não depende de t e é contínua em (t,y) trivialmente. Logo, todas as hipóteses do teorema de Picard–Lindelöf (continuidade e Lipschitz local em y) são satisfeitas na vizinhança do ponto inicial (0,0).
Conclusão parcial: o teorema garante existência e unicidade local da solução para o PVI em torno de t=0.

Passo 4

Identificar explicitamente a solução trivial e comentar sobre unicidade global.
Verifique que a função y(t)\equiv 0 (identicamente zero para todo t) é solução:
\text{Se } y(t)\equiv 0 \text{ então } y'(t)=0 \quad\text{e}\quad y(t)^{3}=0,ã
logo satisfaz y'=y^{3} e a condição y(0)=0.
Agora mostrar que não existe outra solução que coincida com 0 em t=0.
Argumento por diferença de soluções (uso de Grönwall de forma elementar): suponha y_{1} e y_{2} são duas soluções do mesmo PVI definidas num intervalo [a,b] contendo 0. Defina z(t)=y_{1}(t)-y_{2}(t). Então
z'(t)=y_{1}^{3}(t)-y_{2}^{3}(t)=(y_{1}(t)-y_{2}(t))\bigl(y_{1}^{2}(t)+y_{1}(t)y_{2}(t)+y_{2}^{2}(t)\bigr)=z(t)\,h(t),
onde h(t)=y_{1}^{2}(t)+y_{1}(t)y_{2}(t)+y_{2}^{2}(t). Como y_{1} e y_{2} são contínuas em [a,b], a função h(t) é contínua e, portanto, limitada nesse intervalo: existe M\ge 0 tal que |h(t)|\le M para todo t\in[a,b].
Então
|z'(t)|\le M\,|z(t)|.
Podemos integrar e aplicar a desigualdade de Grönwall (ou argumentar que se z(0)=0 então z é identicamente zero): tomando módulo e integrando,
|z(t)| \le \int_{0}^{t} M\,|z(s)|\,ds.
Pela desigualdade de Grönwall, a única função contínua que satisfaz essa desigualdade com condição inicial z(0)=0 é z(t)\equiv 0 em [a,b]. Portanto y_{1}\equiv y_{2} nesse intervalo.
Esse raciocínio vale em qualquer intervalo compacto que contenha 0. Como qualquer solução é contínua, em cada intervalo compacto ao redor de 0 o argumento mostra unicidade; portanto a unicidade local dada pelo teorema estende-se à unicidade global enquanto as soluções existirem. Em particular, não existe outra solução que satisfaça y(0)=0 além de y\equiv 0.

Passo 5

Comentário adicional (intuitivo, para fixar a ideia): algumas equações onde f não é Lipschitz em y (por exemplo y'=\sqrt{|y|}) admitem várias soluções com a mesma condição inicial; esse é o contraste. No nosso caso f(y)=y^{3} é suave e “não faz esse tipo de bagunça”, por isso a unicidade é garantida.

Resposta

Sim. O Teorema de Existência e Unicidade garante unicidade; a única solução que satisfaz \,y'=y^{3},\;y(0)=0\, é y(t)\equiv 0.

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