Verifique se o Teorema de Existência e Unicidade garante a unicidade de solução do Problema de Valor Inicial:
Passo 1
O problema inicial dado é
O que se pede: verificar se o Teorema de Existência e Unicidade (o teorema de Picard–Lindelöf) garante unicidade da solução que satisfaz essa condição inicial.
Informações fornecidas:
- A equação diferencial é autonôma e tem a forma
com . - A condição inicial é
.]
Passo 2
Enunciado do Teorema de Existência e Unicidade (forma usada aqui, local):
Se for contínua em uma vizinhança do ponto
e for Lipschitz em
nessa mesma vizinhança (isto é, existe
tal que
para todos
na vizinhança), então existe um intervalo em torno de
onde existe uma solução única do problema de valor inicial
Se
Explicando os conceitos de forma bem prática:
- Continuidade de
significa que pequenas mudanças em provocam pequenas mudanças em . - Lipschitz em
é uma condição que controla quanto pode variar em função de ; é mais forte que continuidade em e garante que duas soluções que começam próximas não se separam instantaneamente.
Uma maneira simples de verificar Lipschitz é checar se a derivada parcial
existe e é contínua: então
é localmente Lipschitz (em qualquer intervalo de
limitado).
Passo 3
Aplicando o teste à nossa função
.
Calcule a derivada em relação a
:
Essa derivada é contínua em todo
. Portanto, em qualquer intervalo de
limitado,
é limitada, o que implica que
é Lipschitz nesse intervalo. Em particular, existe uma vizinhança de
onde
é Lipschitz em
.
Além disso
não depende de
e é contínua em
trivialmente. Logo, todas as hipóteses do teorema de Picard–Lindelöf (continuidade e Lipschitz local em
) são satisfeitas na vizinhança do ponto inicial
.
Conclusão parcial: o teorema garante existência e unicidade local da solução para o PVI em torno de
.
Passo 4
Identificar explicitamente a solução trivial e comentar sobre unicidade global.
Verifique que a função
(identicamente zero para todo
) é solução:
logo satisfaz
e a condição
.
Agora mostrar que não existe outra solução que coincida com
em
.
Argumento por diferença de soluções (uso de Grönwall de forma elementar): suponha
e
são duas soluções do mesmo PVI definidas num intervalo
contendo
. Defina
. Então
onde
. Como
e
são contínuas em
, a função
é contínua e, portanto, limitada nesse intervalo: existe
tal que
para todo
.
Então
Podemos integrar e aplicar a desigualdade de Grönwall (ou argumentar que se
então
é identicamente zero): tomando módulo e integrando,
Pela desigualdade de Grönwall, a única função contínua que satisfaz essa desigualdade com condição inicial
é
em
. Portanto
nesse intervalo.
Esse raciocínio vale em qualquer intervalo compacto que contenha
. Como qualquer solução é contínua, em cada intervalo compacto ao redor de
o argumento mostra unicidade; portanto a unicidade local dada pelo teorema estende-se à unicidade global enquanto as soluções existirem. Em particular, não existe outra solução que satisfaça
além de
.
Passo 5
Comentário adicional (intuitivo, para fixar a ideia): algumas equações onde
não é Lipschitz em
(por exemplo
) admitem várias soluções com a mesma condição inicial; esse é o contraste. No nosso caso
é suave e “não faz esse tipo de bagunça”, por isso a unicidade é garantida.
Resposta
Sim. O Teorema de Existência e Unicidade garante unicidade; a única solução que satisfaz
é
.