Considere a equação diferencial
-y d x+(x+\sqrt{x y}) d y=0
(a) Verifique que a equação dada é homogênea, especificando o grau de homogeneidade.
(b) Resolva a equação usando uma substituição adequada para o método das equações homogêneas.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
-y\,dx + \bigl(x+\sqrt{x y}\,\bigr)\,dy = 0
e pede duas coisas:
(a) verificar que a equação é homogênea e especificar o grau de homogeneidade;
(b) resolver a equação usando uma substituição adequada para equações homogêneas.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A forma diferencial é M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0 com M(x,y) = -y e N(x,y)=x+\sqrt{x y}.
  • A presença da raiz quadrada \sqrt{x y} indica que devemos ter x y \ge 0 no domínio considerado (ou ter cuidado com sinais), e que manipulações com raízes precisam considerar a definição principal da raiz.

Passo 2

O que significa uma função homogênea e como verificar grau: uma função f(x,y) é homogênea de grau k se, para todo t>0,
f(t x,t y)=t^{k} f(x,y).
Para verificar homogeneidade da equação diferencial escrita na forma M\,dx+N\,dy=0 é preciso checar se M e N são homogêneas do mesmo grau k.
Aplicando isso a M e N:
M(t x,t y) = -t y = t\bigl(-y\bigr) = t^{1}M(x,y),
N(t x,t y) = t x + \sqrt{(t x)(t y)} = t x + \sqrt{t^{2} x y} = t x + t\sqrt{x y} = t\bigl(x+\sqrt{x y}\bigr)=t^{1}N(x,y).
Portanto M e N são homogêneas de grau 1. Conclusão do item (a): a equação é homogênea de grau 1.

Passo 3

Agora vamos resolver (b). Primeiro colocamos a equação em forma de derivada dy/dx. Da equação
-y + \bigl(x+\sqrt{x y}\,\bigr)\frac{dy}{dx}=0
segue
\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x+\sqrt{x y}}.
Explicando: isolou-se o termo com \dfrac{dy}{dx} levando o y para o outro lado e dividindo por x+\sqrt{x y}.

Passo 4

Método padrão para equações homogêneas: usar a substituição
y = v x,
onde v é função de x. Motivo: quando M e N têm mesmo grau, a razão y/x aparece nas expressões e a equação fica reduzida a uma equação para v(x). Diferenciando y=vx obtemos
\frac{dy}{dx}=v + x\frac{dv}{dx}.

Passo 5

Substituímos na expressão para \dfrac{dy}{dx}. Observando a raiz:
\sqrt{x y}=\sqrt{x\cdot v x}=\sqrt{v}\,\sqrt{x^{2}}=x\sqrt{v}
(para x\ge0; se x for negativo, usar \sqrt{x^{2}}=|x| e tratar sinal; aqui trabalhamos no ramo onde a simplificação \sqrt{x^{2}}=x é válida ou entendemos \sqrt{v} carregando o sinal apropriado). Substituindo em
v + x\frac{dv}{dx}=\frac{y}{x+\sqrt{x y}}=\frac{v x}{x + x\sqrt{v}}=\frac{v}{1+\sqrt{v}}.
Isolando x \dfrac{dv}{dx}:
x\frac{dv}{dx}=\frac{v}{1+\sqrt{v}}-v = v\!\left(\frac{1}{1+\sqrt{v}}-1\right) = v\!\left(\frac{1-(1+\sqrt{v})}{1+\sqrt{v}}\right) = -\frac{v\sqrt{v}}{1+\sqrt{v}}.

Passo 6

Agora separamos variáveis: escrevendo \sqrt{v}=s ou diretamente separando v-s e x-s:
\frac{1+\sqrt{v}}{v\sqrt{v}}\,dv = -\frac{dx}{x}.
Explicando cada termo: multiplicou-se ambos os lados por \dfrac{1+\sqrt{v}}{v\sqrt{v}} e dividiu-se por x para obter a forma separada.

Passo 7

Para integrar de forma limpa fazemos a substituição s=\sqrt{v}. Então v=s^{2} e dv=2s\,ds. Transformando o integrando do lado esquerdo:
\frac{1+\sqrt{v}}{v\sqrt{v}}\,dv=\frac{1+s}{s^{2}\cdot s}\,dv=\frac{1+s}{s^{3}}\,dv.
Com dv=2s\,ds isso vira
\frac{1+s}{s^{3}}\cdot 2s\,ds = 2\frac{1+s}{s^{2}}\,ds = 2\bigl(s^{-2}+s^{-1}\bigr)\,ds.
Integramos termo a termo:
\int 2\bigl(s^{-2}+s^{-1}\bigr)\,ds = 2\left(-s^{-1}+\ln|s|\right)+C.
No lado direito temos
\int -\frac{dx}{x} = -\ln|x| + C.
Igualando as primitivas (absorvendo constantes em uma só constante) obtemos
2\left(-\frac{1}{s}+\ln|s|\right) = -\ln|x| + C.

Passo 8

Voltando a s=\sqrt{v}=\sqrt{\dfrac{y}{x}}, simplificamos a expressão. Primeiro expandindo:
- \frac{2}{s} + 2\ln|s| = -\ln|x| + C.
Como 2\ln|s|=\ln|s|^{2}=\ln|v|=\ln\!\left|\frac{y}{x}\right|=\ln|y|-\ln|x|, substituímos:
- \frac{2}{s} + \ln|y| - \ln|x| = -\ln|x| + C.
Os termos -\ln|x| cancelam em ambos os lados, restando
\ln|y| - \frac{2}{s} = C.
Substituindo s=\sqrt{\dfrac{y}{x}} e observando \dfrac{1}{s}=\sqrt{\dfrac{x}{y}}, obtemos a solução implícita final:
\boxed{\ln|y| - 2\sqrt{\dfrac{x}{y}} = C,}
onde C é constante arbitrária. Esta é a família de soluções implícitas da equação original (definidas no domínio onde as operações acima fazem sentido, por exemplo y\neq 0 e x y\ge 0 ajustando sinais conforme necessário).

Resposta

(a) A equação é homogênea de grau 1.
(b) \ln|y| - 2\sqrt{\dfrac{x}{y}} = C.

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