Considere a equação diferencial
2 x^2 y^prime prime-x y^prime-9 y=0
Explicite a solução geral.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos dá a equação:
2x^2 y'' - x y' - 9y = 0
Vamos trabalhar com equações diferenciais de segunda ordem, mais especificamente as chamadas equações de Euler (ou Cauchy-Euler). Para resolver esse tipo, a gente assume soluções do tipo $ y = x^r $, onde $ r $ é uma constante que vamos descobrir.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que $ y = x^r $. Então, precisamos encontrar as primeiras e segundas derivadas de $ y $ em relação a $ x $:
y = x^r
y

Passo 3

Agora, vamos substituir $ y $, $ y’ $ e $ y’’ $ na equação original:
y
Simplificando cada termo:
  • $ 2x^{2} \cdot r (r - 1) x^{r-2} = 2r(r - 1) x^r $
  • $ -x \cdot r x^{r-1} = -r x^r $
  • $ -9x^r $ permanece igual
Então, a equação fica:
y'

Passo 4

Vamos fatorar $ x^r $ da equação:
x^r
Como $ x^r $ nunca é zero, podemos igualar o conteúdo do parêntese a zero:
x^r ( 2r(r - 1) - r - 9 ) = 0

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação quadrática para $ r $:
r
Simplificando:
2r^2 - 2r - r - 9 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara para $ ar^2 + br + c = 0 $:
2r^2 - 3r - 9 = 0
Então, temos duas soluções para $ r $:
  • $ r_1 = \frac{12}{4} = 3 $
  • $ r_2 = \frac{-6}{4} = -1.5 $

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = c1 x^3 + c2 x^-1.5
Onde $ c_{1} $ e $ c_{2} $ são constantes arbitrárias.

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