Considere a equação diferencial
Explicite a solução geral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos dá a equação:
Vamos trabalhar com equações diferenciais de segunda ordem, mais especificamente as chamadas equações de Euler (ou Cauchy-Euler). Para resolver esse tipo, a gente assume soluções do tipo $ y = x^r $, onde $ r $ é uma constante que vamos descobrir.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que $ y = x^r $. Então, precisamos encontrar as primeiras e segundas derivadas de $ y $ em relação a $ x $:
Passo 3
Agora, vamos substituir $ y $, $ y’ $ e $ y’’ $ na equação original:
Simplificando cada termo:
- $ 2x^{2} \cdot r (r - 1) x^{r-2} = 2r(r - 1) x^r $
- $ -x \cdot r x^{r-1} = -r x^r $
- $ -9x^r $ permanece igual
Então, a equação fica:
Passo 4
Vamos fatorar $ x^r $ da equação:
Como $ x^r $ nunca é zero, podemos igualar o conteúdo do parêntese a zero:
Passo 5
Agora, vamos resolver a equação quadrática para $ r $:
Simplificando:
Usando a fórmula de Bhaskara para $ ar^2 + br + c = 0 $:
Então, temos duas soluções para $ r $:
- $ r_1 = \frac{12}{4} = 3 $
- $ r_2 = \frac{-6}{4} = -1.5 $
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ c_{1} $ e $ c_{2} $ são constantes arbitrárias.