Refaça o Problema 4.12, com a força de atrito variando linearmente, isto é,
. Calcule o encurtamento total da estaca, considerando
,
e
psi.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para refazer um problema onde a força de atrito varia de forma linear ao longo de uma estaca. Isso envolve conceitos de mecânica dos materiais, especificamente deformação de materiais sob carga axial. Precisamos calcular o encurtamento total da estaca, considerando os seguintes dados:
- Carga axial, $ Q = 80 $ kips
- Comprimento da estaca, $ L = 30 $ ft
- Área da seção transversal, $ A = 0,75 $ in²
- Módulo de elasticidade, $ E = 1,45 \times 10^{6} $ psi
Vamos precisar usar a fórmula da deformação em uma estaca submetida a carga axial, levando em conta a variação linear da força de atrito ao longo do comprimento da estaca.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o encurtamento total da estaca ($ \delta_{total}
\delta_{Q}
\delta_{f} $) ao longo da estaca. Então:
Passo 3
Vamos calcular $ \delta_{Q} $, que é o encurtamento devido à carga axial. A fórmula para isso é:
Vamos converter todas as unidades para que fiquem consistentes. Primeiro, converter $ L $ de pés para polegadas, já que $ E $ está em psi (lbf/in²):
Agora, substituindo os valores:
Passo 4
Agora, vamos calcular $ \delta_{f} $, o encurtamento devido à força de atrito que varia linearmente ao longo da estaca. A força de atrito é dada por $ f(x) = kx $, onde $ k $ é uma constante e $ x $ é a posição ao longo da estaca.
A deformação devido à força de atrito pode ser encontrada integrando a deformação diferencial ao longo do comprimento da estaca:
Integrando:
Passo 5
Para encontrar o encurtamento total, precisamos somar $ \delta_{Q} $ e $ \delta_{f} $:
Substituindo os valores conhecidos:
Simplificando a primeira parte:
A segunda parte ($ \delta_{f} $) depende do valor de $ k $, que não foi fornecido. Portanto, o encurtamento total em termos de $ k $ é:
Resposta
O encurtamento total da estaca é dado por $ \delta_{total} \approx 26.46 + 0.06 k $ polegadas, onde $ k $ é a constante da força de atrito linear.