Refaça o Problema 4.12, com a força de atrito variando linearmente, isto é, f(x)=k x. Calcule o encurtamento total da estaca, considerando Q=80 kips, L=30 ft, A=0,75 in^2 e E=1,45 times 10^6 psi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para refazer um problema onde a força de atrito varia de forma linear ao longo de uma estaca. Isso envolve conceitos de mecânica dos materiais, especificamente deformação de materiais sob carga axial. Precisamos calcular o encurtamento total da estaca, considerando os seguintes dados:
  • Carga axial, $ Q = 80 $ kips
  • Comprimento da estaca, $ L = 30 $ ft
  • Área da seção transversal, $ A = 0,75 $ in²
  • Módulo de elasticidade, $ E = 1,45 \times 10^{6} $ psi
Vamos precisar usar a fórmula da deformação em uma estaca submetida a carga axial, levando em conta a variação linear da força de atrito ao longo do comprimento da estaca.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o encurtamento total da estaca ($ \delta_{total} deéà \delta_{Q} deàç \delta_{f} $) ao longo da estaca. Então:
de

Passo 3

Vamos calcular $ \delta_{Q} $, que é o encurtamento devido à carga axial. A fórmula para isso é:
de
Vamos converter todas as unidades para que fiquem consistentes. Primeiro, converter $ L $ de pés para polegadas, já que $ E $ está em psi (lbf/in²):
de
Agora, substituindo os valores:
L
E

Passo 4

Agora, vamos calcular $ \delta_{f} $, o encurtamento devido à força de atrito que varia linearmente ao longo da estaca. A força de atrito é dada por $ f(x) = kx $, onde $ k $ é uma constante e $ x $ é a posição ao longo da estaca.
A deformação devido à força de atrito pode ser encontrada integrando a deformação diferencial ao longo do comprimento da estaca:
de
Integrando:
f(x) = kx

Passo 5

Para encontrar o encurtamento total, precisamos somar $ \delta_{Q} $ e $ \delta_{f} $:
de
Substituindo os valores conhecidos:
de
Simplificando a primeira parte:
de
A segunda parte ($ \delta_{f} $) depende do valor de $ k $, que não foi fornecido. Portanto, o encurtamento total em termos de $ k $ é:
de

Resposta

O encurtamento total da estaca é dado por $ \delta_{total} \approx 26.46 + 0.06 k $ polegadas, onde $ k $ é a constante da força de atrito linear.

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