Resolva as seguintes equações diferenciais:
(x y^4) d x+(2 x^2 y^3-20 y^3) d y=0;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado que temos é:
(x y^4) dx + (2 x^2 y^3 - 20 y^3) dy = 0
Esse tipo de equação é uma equação diferencial exata, então vamos usar os conceitos de equações diferenciais exatas para resolver. Precisaremos verificar se a equação é exata e, se for, encontrar a função potencial que satisfaz a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa equação. Podemos reescrever a equação na forma padrão:
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0
Onde:
M(x, y) = x y^4
N(x, y) = 2 x^2 y^3 - 20 y^3
Para verificar se a equação é exata, precisamos verificar se:
partial Mpartial y = partial Npartial x

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
Primeiro, a derivada de $ M $ em relação a $ y $:
M
Agora, a derivada de $ N $ em relação a $ x $:
y

Passo 4

Comparando as duas derivadas que calculamos:
partial Mpartial y = 4 x y^3
partial Npartial x = 4 x y^3
Como partial Mpartial y = partial Npartial x, a equação diferencial é exata. Isso significa que existe uma função $ \Phi(x, y) $ tal que:
Phi(x, y)
partial Phipartial x = M(x, y)

Passo 5

Vamos encontrar a função potencial $ \Phi(x, y) $. Começamos integrando $ M(x, y) $ em relação a $ x $:
Phi(x, y)
Aqui, $ h(y) $ é uma função que depende apenas de $ y $ e aparece como constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos derivar $ \Phi(x, y) $ em relação a $ y $ e igualar a $ N(x, y) $:
Phi(x, y)
Simplificando a equação:
y
Subtraindo $ 2 x^{2} y^{3} $ de ambos os lados:
N(x, y)

Passo 7

Agora, encontramos $ h(y) $ integrando $ h’(y) $:
h(y)
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 8

Substituindo $ h(y) $ de volta na função $ \Phi(x, y) $:
h(y)
A solução geral da equação diferencial exata é dada por $ \Phi(x, y) = constante $. Então, temos:
Phi(x, y)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
12 x^2 y^4 - 5 y^4 = C
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.

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