Resolva as seguintes equações diferenciais:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado que temos é:
Esse tipo de equação é uma equação diferencial exata, então vamos usar os conceitos de equações diferenciais exatas para resolver. Precisaremos verificar se a equação é exata e, se for, encontrar a função potencial que satisfaz a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa equação. Podemos reescrever a equação na forma padrão:
Onde:
Para verificar se a equação é exata, precisamos verificar se:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Primeiro, a derivada de $ M $ em relação a $ y $:
Agora, a derivada de $ N $ em relação a $ x $:
Passo 4
Comparando as duas derivadas que calculamos:
Como
, a equação diferencial é exata. Isso significa que existe uma função $ \Phi(x, y) $ tal que:
Passo 5
Vamos encontrar a função potencial $ \Phi(x, y) $. Começamos integrando $ M(x, y) $ em relação a $ x $:
Aqui, $ h(y) $ é uma função que depende apenas de $ y $ e aparece como constante de integração.
Passo 6
Agora, vamos derivar $ \Phi(x, y) $ em relação a $ y $ e igualar a $ N(x, y) $:
Simplificando a equação:
Subtraindo $ 2 x^{2} y^{3} $ de ambos os lados:
Passo 7
Agora, encontramos $ h(y) $ integrando $ h’(y) $:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 8
Substituindo $ h(y) $ de volta na função $ \Phi(x, y) $:
A solução geral da equação diferencial exata é dada por $ \Phi(x, y) = constante $. Então, temos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.