Considere a equação diferencial
(x+3) y^prime prime+(x+2) y^prime-y=0
Sejam as funções
z1(x)=x^2, z2(x)=x+2, z3(x)=e^-x
(a) Verifique quais das funções z1, z2, z3 são soluções da equação diferencial dada.
(b) Calcule o Wronskiano W(z2, z3)(x) e verifique se as soluções z2 e z3 são linearmente independentes.
(c) Considerando que z2 e z3 são soluções fundamentais, determine a solução geral da equação diferencial.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
(x+3),y''+(x+2),y'-y=0
e três funções
z1(x)=x^2, z2(x)=x+2, z3(x)=e^-x
Vamos (a) testar cada zi na ED, (b) calcular o Wronskiano de z2 e z3 para ver independência linear, e (c) usar essas duas soluções independentes para escrever a solução geral.

Passo 2

Testamos z1(x)=x^2. Então
z1'=2x, z1''=2
Substituindo na ED:
(x+3)cdot2+(x+2)cdot2x - x^2 =2x+6+2x^2+4x -x^2 =x^2+6x+6neq0
em geral. Logo z1 não é solução.

Passo 3

Testamos z2(x)=x+2. Então
z2'=1, z2''=0
Substituindo:
(x+3)cdot0+(x+2)cdot1-(x+2) =(x+2)-(x+2)=0
Logo z2 é solução.

Passo 4

Testamos z3(x)=e^-x. Então
z3'=-e^-x, z3''=e^-x
Substituindo:
(x+3)e^-x+(x+2)(-e^-x)-e^-x =[x+3 -x-2 -1],e^-x=0
Logo z3 é solução.

Passo 5

Calculamos o Wronskiano
W(z2,z3)(x)= z2 & z3[6pt] z2' & z3' =(x+2)(-e^-x) - (1)(e^-x) =-(x+3)e^-x
Para qualquer intervalo que não contenha x=-3, temos Wneq0, pois e^-xneq0. Assim z2 e z3 são linearmente independentes.]

Passo 6

Como z2,z3 é um conjunto fundamental de soluções, a solução geral é
y(x)=C1,z2(x)+C2,z3(x) =C1(x+2)+C2,e^-x,
com C1,C2 constantes arbitrárias.

Resposta

(a) z2 e z3 são soluções, z1 não.
(b) W(z2,z3)(x)=-(x+3)e^-xneq0 (em intervalos sem x=-3), logo são linearmente independentes.
(c) y(x)=C1(x+2)+C2e^-x

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