(a) Verifique quais das funções são soluções da equação diferencial dada.
(b) Calcule o Wronskiano e verifique se as soluções e são linearmente independentes.
(c) Considerando que e são soluções fundamentais, determine a solução geral da equação diferencial.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
e três funções
Vamos (a) testar cada na ED, (b) calcular o Wronskiano de e para ver independência linear, e (c) usar essas duas soluções independentes para escrever a solução geral.
Passo 2
Testamos . Então
Substituindo na ED:
em geral. Logo não é solução.
Passo 3
Testamos . Então
Substituindo:
Logo é solução.
Passo 4
Testamos . Então
Substituindo:
Logo é solução.
Passo 5
Calculamos o Wronskiano
Para qualquer intervalo que não contenha x=-3, temos Wneq0, pois e^-xneq0. Assim z2 e z3 são linearmente independentes.]
Passo 6
Como z2,z3 é um conjunto fundamental de soluções, a solução geral é
y(x)=C1,z2(x)+C2,z3(x) =C1(x+2)+C2,e^-x,
com C1,C2 constantes arbitrárias.
Resposta
(a) z2 e z3 são soluções, z1 não.
(b) W(z2,z3)(x)=-(x+3)e^-xneq0 (em intervalos sem x=-3), logo são linearmente independentes.
(c) y(x)=C1(x+2)+C2e^-x