1. Resolva as seguintes equações de Bernoulli:
    (a) y(6 x^2 y^2-x+1)+2 x y^prime=0
    (b) y^prime=y+e^-3 x y^4
    (c) 2 x^3 y^prime=y(y^2+3 x^2)
    (d) x^3 y^prime=2 y(raiz[3]y+3 x^2)
    (e) y^prime=5 y-4 xy
    (f) y^prime=y-y^3
    (g) x^2 y^prime+2 x y-y^3=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver sete equações de Bernoulli da forma
y' + P(x),y = Q(x),y^n,
onde usamos a substituição
u = y^1-n
que transforma a ODE em linear para u:
u' + (1-n),P(x),u = (1-n),Q(x)

Passo 2

(a) Reescrevendo
2x,y' + (6x^2y^2 - x + 1),y = 0
fica
y' + l(-tfrac12 + tfrac12xr),y = -3x,y^3,
logo P(x)=-tfrac12+tfrac12x, Q(x)=-3x, n=3. Substituímos u=y^1-3=y^-2.

Passo 3

A equação em u é
u' +(-2)P(x),u = -2,Q(x) ;Longrightarrow; u' + l(1 - tfrac1xr)u = 6x
O fator integrante é mu=e^integral(1-1/x)dx=e^x/x.
Integrando
ddxl(e^xxur)=6e^x ;Longrightarrow; e^xxu =6e^x + C ;Longrightarrow; u=6x + Cx e^-x
Logo
y^-2=6x + Cx e^-x ;Longrightarrow; y(x)=pml(6x + Cx e^-xr)^-tfrac12

Passo 4

(b) Temos
y' = y + e^-3xy^4 ;Longrightarrow; y' - y = e^-3xy^4,
com P=-1, Q=e^-3x, n=4. Substituímos u=y^1-4=y^-3.

Passo 5

A equação em u:
u' +(-3)P,u = -3,Q ;Longrightarrow; u' +3u = -3e^-3x
Fator integrante mu=e^3x.
ddx(e^3xu)=-3 ;Longrightarrow; e^3xu = -3x + C ;Longrightarrow; u=(-3x + C)e^-3x
Assim
y^-3=(-3x + C)e^-3x ;Longrightarrow; y(x)=l(e^3x-3x + Cr)^!tfrac13

Passo 6

(c) Escrevendo
2x^3y' = y(y^2+3x^2) ;Longrightarrow; y' - 32x,y = 12x^3,y^3,
logo P=-tfrac32x, Q=tfrac12x^-3, n=3. Substituímos u=y^-2.

Passo 7

Em u vem
u' +(-2)P,u = -2Q ;Longrightarrow; u' + 3x,u = -x^-3
Fator integrante mu=x^3.
ddx(x^3u)=-1 ;Longrightarrow; x^3u = -x + C ;Longrightarrow; u=-x + Cx^3
Logo
y^-2=C - xx^3 ;Longrightarrow; y(x)=pmx^3/2raizC - x

Passo 8

(d) Parte de
x^3y' = 2yl(y^1/3+3x^2r) ;Longrightarrow; y' - 6x,y = 2x^3,y^4/3,
então P=-6/x, Q=2x^-3, n=4/3. Substituímos u=y^1-n=y^-1/3.

Passo 9

Em u obtém-se
u' +(-tfrac13)P,u = -tfrac13Q ;Longrightarrow; u' + 2x,u = -23x^-3
Fator integrante mu=x^2.
ddx(x^2u)=-tfrac23x^-1 ;Longrightarrow; x^2u = -tfrac23ln|x| + C ;Longrightarrow; u=C - tfrac23ln|x|x^2
Logo
y^-1/3=C - tfrac23ln|x|x^2 ;Longrightarrow; y(x)=l(tfracx^2C - tfrac23ln|x|r)^!3

Passo 10

(e) Escrevendo
y' = 5y - 4xy ;Longrightarrow; y' - 5y = -4x,y^-1,
temos P=-5, Q=-4x, n=-1. Substituímos u=y^1-(-1)=y^2.

Passo 11

Para u vem
u' +2P,u = 2Q ;Longrightarrow; u' -10u = -8x
Fator integrante mu=e^-10x.
ddx(e^-10xu)=-8x e^-10x ;Longrightarrow; e^-10xu = 45x e^-10x + 225e^-10x + C
Longrightarrow; u = 45x + 225 + C e^10x ;Longrightarrow; y(x)=pmraiz45x + 225 + C e^10x

Passo 12

(f) Temos
y' = y - y^3 ;Longrightarrow; y' - y = -y^3,
logo P=-1, Q=-1, n=3. Substituímos u=y^1-3=y^-2.

Passo 13

Em u:
u' +(-2)P,u = -2Q ;Longrightarrow; u' +2u = 2
Fator integrante mu=e^2x.
ddx(e^2xu)=2e^2x ;Longrightarrow; e^2xu = e^2x + C ;Longrightarrow; u=1 + C e^-2x ;Longrightarrow; y(x)=pm1raiz1 + C e^-2x

Passo 14

(g) Escrevendo
x^2y' +2xy - y^3=0 ;Longrightarrow; y' + 2x,y = x^-2y^3,
então P=2/x, Q=x^-2, n=3. Substituímos u=y^-2.

Passo 15

Em u:
u' +(-2)P,u = -2Q ;Longrightarrow; u' - 4x,u = -2x^-2
Fator integrante mu=e^integral(-4/x)dx=x^-4.
ddx(x^-4u)=-2x^-6 ;Longrightarrow; x^-4u = 25x^-5 + C ;Longrightarrow; u = 25x^-1 + Cx^4
Longrightarrow; y(x)=pm1raiztfrac25x^-1 + Cx^4

Resposta

(a) y(x)=pml(6x + Cx e^-xr)^-tfrac12
(b) y(x)=l(e^3x-3x + Cr)^!tfrac13
(c) y(x)=pmx^3/2raizC - x
(d) y(x)=l(tfracx^2,C - tfrac23ln|x|,r)^3
(e) y(x)=pmraiztfrac45x + tfrac225 + C e^10x
(f) y(x)=pm1raiz1 + C e^-2x
(g) y(x)=pm1raiztfrac25x^-1 + Cx^4

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