Resolver a equação diferencial pelo método de séries de potências em torno do ponto ordinário
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
usando o método de séries de potências em torno do ponto ordinário
. Vamos assumir uma solução da forma
calcular
e
, substituir na EDO e determinar uma relação de recorrência para os coeficientes
.
Passo 2
Derivando a série temos
Passo 3
Substituindo em
dá
Escrevendo separadamente os termos:
Passo 4
Reindexando o primeiro somatório com
e combinando os de mesma potência
, obtemos para
:
Logo a relação de recorrência é
Passo 5
Separando em termos pares e ímpares:
- Para
vem . Daí todos os para . - Para
surge
cuja solução é
Assim a série fica
Passo 6
Reconhecemos a série de Taylor de
:
Portanto a solução geral é
onde
e
.