Resolver a equação diferencial pelo método de séries de potências em torno do ponto ordinário mathrmx=0
(x^2+1) y^prime prime+2 x y^prime=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
(x^2+1),y'' + 2x,y' = 0
usando o método de séries de potências em torno do ponto ordinário x=0. Vamos assumir uma solução da forma
y(x)=sumn=0^inftyanx^n,
calcular y' e y'', substituir na EDO e determinar uma relação de recorrência para os coeficientes an.

Passo 2

Derivando a série temos
y'(x)=sumn=1^inftyn,an,x^n-1,
y''(x)=sumn=2^inftyn(n-1),an,x^n-2

Passo 3

Substituindo em (x^2+1)y''+2x,y'=0
(x^2+1)sumn=2^inftyn(n-1)anx^n-2 +2xsumn=1^inftyn,anx^n-1=0
Escrevendo separadamente os termos:
sumn=2^inftyn(n-1)anx^n-2 +sumn=2^inftyn(n-1)anx^n +2sumn=1^inftyn,anx^n=0

Passo 4

Reindexando o primeiro somatório com k=n-2 e combinando os de mesma potência x^k, obtemos para k>=0:
(k+2)(k+1)ak+2+k(k+1)ak=0
Logo a relação de recorrência é
ak+2=-kk+2;ak, k>=0

Passo 5

Separando em termos pares e ímpares:
  • Para k=0 vem a2=0. Daí todos os a2m=0 para m>=1.
  • Para k=2m+1 surge
a2m+3=-2m+12m+3,a2m+1,
cuja solução é
a2m+1=(-1)^m,12m+1,a1
Assim a série fica
y(x)=a0+summ=0^infty(-1)^ma12m+1,x^2m+1

Passo 6

Reconhecemos a série de Taylor de arctan(x):
arctan(x)=summ=0^infty(-1)^mx^2m+12m+1
Portanto a solução geral é
y(x)=C1+C2,arctan(x),
onde C1=a0 e C2=a1.

Resposta

y(x)=C1+C2,arctan(x)

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