Considere a equação diferencial
(x+yx) d x+(1+e^yx) d y=0
Transforme a EDO em um equação exata multiplicando (3) por um fator integrante que depende só de x.

Passo 1

A equação diferencial dada é l(x+tfracyxr),dx + l(1+tfrace^yxr),dy = 0. O conteúdo envolvido é a busca de um fator integrante que dependa só de x para tornar a equação exata.

Passo 2

Vamos chamar M(x,y)=x+tfracyx e N(x,y)=1+tfrace^yx. Se multiplicarmos por mu(x), queremos que se satisfaça a condição de exatidão:
partialpartial yl(mu(x),M(x,y)r) = partialpartial xl(mu(x),N(x,y)r)

Passo 3

Calculemos as duas derivadas:
  • partialpartial y[mu M]=mu(x),partialpartial yl(x+tfracyxr)=mu(x),1x
  • partialpartial x[mu N]=mu'(x)l(1+tfrace^yxr)+mu(x),partialpartial xl(1+tfrace^yxr)=mu'(x)l(1+tfrace^yxr)-mu(x),e^yx^2

Passo 4

Igualando-as e separando os termos em função de e^y e constantes, obtemos a mesma condição para ambos:
mu'(x)mu(x)=1x

Passo 5

Agora é só resolver essa ODE para mu.

Resposta

mu(x)=x

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