Dado o problema de valor inicial (PVI)
d yd x=x^2+3 y^22 x y, y(1)=1
Determine a solução do PVI.

Passo 1

O enunciado pede resolver o PVI
dydx=x^2+3y^22xy, y(1)=1
Esse é um caso de equação diferencial de primeira ordem homogênea, pois o quociente é função de y/x. Vamos usar a substituição y=u x.

Passo 2

Fazendo a substituição y=u x temos
dydx=u + xdudx
Substituindo na equação original:
u + xdudx=x^2+3u^2x^22xcdot u x=1+3u^22u
Assim
xdudx=1+3u^22u-u=1+u^22u

Passo 3

Agora separamos as variáveis u e x:
integral 2u1+u^2,du=integral dxx
Calculando as integrais:
lnl(1+u^2r)=ln|x|+C

Passo 4

Voltando a y e x, lembrando que u=y/x:
1+l(yxr)^2=Cx Longrightarrow x^2+y^2=Cx^3
Aplicando a condição inicial y(1)=1:
1^2+1^2=Ccdot1^3implies C=2
Logo a solução implícita é
x^2+y^2=2x^3
e daí
y^2=x^2(2x-1)

Passo 5

Como y(1)=1>0, escolhemos o ramo positivo:
y(x)=xraiz2x-1, x>=tfrac12

Resposta

y(x)=xraiz2x-1,;x>=tfrac12

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