Verifique se as integrais impróprias convergem ou não.
integral1^+infty 1x(x+1) d x

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a integral imprópria integral1^+infty 1x(x+1),dx converge e, em caso afirmativo, calcular o valor. O conteúdo envolve integrais impróprias e uso de frações parciais para integrar racional.

Passo 2

Para aplicar frações parciais, escrevemos 1x(x+1) = Ax + Bx+1. Igualando numeradores: A(x+1)+Bx = 1. Logo, A+B=0 e A=1, resultando em A=1 e B=-1. Assim, 1x(x+1) = 1x - 1x+1.

Passo 3

Integramos de 1 a t:

Passo 4

Avaliamo-lo limite quando tto+infty:

Passo 5

Como o limite é finito, a integral converge.

Resposta

A integral converge e seu valor é ln 2.

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