Verifique se as integrais impróprias convergem ou não.
integral-infty^+infty 1x^2+x+1 d x

Passo 1

Estamos diante da integral imprópria integral-infty^+infty1x^2+x+1,dx. O conteúdo envolvido é o estudo de convergência de integrais impróprias e o cálculo de integrais de funções racionais. Vamos usar o teste de comparação para o comportamento em xtopminfty e completar quadrado para calcular o valor exato.

Passo 2

Note que o denominador x^2+x+1 nunca se anula em R, pois o discriminante é De. Logo, o integrando é contínuo em todo o eixo real, faltando apenas examinar os limites xtopminfty.

Passo 3

Para verificar a convergência em pminfty, observamos que para grandes x vale x^2+x+1sim x^2, logo 1x^2+x+1sim1x^2. Como integralA^inftyx^-2,dx converge (p-comparação com p=2>1), nossa integral também converge tanto em [0,∞) quanto em . Portanto, é convergente.

Passo 4

Para calcular o valor exato, fazemos completar quadrado:
x^2+x+1 = l(x+tfrac12r)^2 + tfrac34

Passo 5

Fazendo a substituição t=x+tfrac12, temos dt=dx e os limites continuam de -infty a +infty. Assim
integral-infty^inftydxx^2+x+1 =integral-infty^inftydtt^2+l(tfracraiz32r)^2

Passo 6

Usamos a primitiva padrão
integralduu^2+a^2=1aarctanl(uar)

Passo 7

Logo
integral-infty^inftydtt^2+l(tfracraiz32r)^2 =2raiz3l[arctanl(tfrac2traiz3r)r]-infty^infty =2raiz3l(tfracpi2-(-tfracpi2)r) =2piraiz3

Resposta

A integral converge e vale tfrac2piraiz3.

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