Verifique se as integrais impróprias convergem ou não.
Passo 1
Estamos diante da integral imprópria
. O conteúdo envolvido é o estudo de convergência de integrais impróprias e o cálculo de integrais de funções racionais. Vamos usar o teste de comparação para o comportamento em
e completar quadrado para calcular o valor exato.
Passo 2
Note que o denominador
nunca se anula em
, pois o discriminante é
. Logo, o integrando é contínuo em todo o eixo real, faltando apenas examinar os limites
.
Passo 3
Para verificar a convergência em
, observamos que para grandes
vale
, logo
. Como
converge (p-comparação com
), nossa integral também converge tanto em
quanto em
. Portanto, é convergente.
Passo 4
Para calcular o valor exato, fazemos completar quadrado:
Passo 5
Fazendo a substituição
, temos
e os limites continuam de
a
. Assim
Passo 6
Usamos a primitiva padrão
Passo 7
Logo
Resposta
A integral converge e vale
.