Considere a equação diferencial
(x+yx) d x+(1+e^yx) d y=0
Classifique-a quanto à sua ordem e quanto à linearidade.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial em forma de diferencial exata: l(x+tfrac yxr)dx + l(1+tfrace^yxr)dy=0. O conteúdo é classificação de equações diferenciais quanto à ordem e linearidade, e vamos precisar escrever a equação na forma y'=f(x,y) para identificar esses aspectos.

Passo 2

Para passar à forma y'=dots, dividimos tudo por dx, obtendo
l(x+tfrac yxr) + l(1+tfrace^yxr),y'=0
e daí isolamos y':
y' = -x + tfrac yx1 + tfrace^yx

Passo 3

A ordem da equação é o maior expoente de derivada que aparece. Aqui só aparece y' (ou seja, dy/dx) e não há derivadas de ordem superior. Logo é de primeira ordem.

Passo 4

Uma equação diferencial de primeira ordem é dita linear se puder ser escrita como
y' + P(x),y = Q(x)
para algumas funções P e Q que dependem só de x. Na nossa expressão de y' aparece e^y no denominador, o que faz o termo dependente de y de forma não afim. Isso quebra a forma linear.

Passo 5

Portanto, a equação é de ordem 1 e não é linear.

Resposta

Ordem 1; não linear.

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