Determine o volume do sólido de revolução (infinito) gerado quando a região sob o gráfico de
, para
é rotacionada em torno do eixo
.
Passo 1
Estamos buscando o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região limitada por y = 1/x para x ≥ 1 em torno do eixo x. O conteúdo principal é cálculo de volume por integração imprópria de disco, e vamos usar a definição de volume por disco circular.
Passo 2
No método dos discos, cada fatia perpendicular ao eixo x, de espessura dx, gera um disco de raio y = 1/x. A área desse disco é π·(raio)^2, ou seja, π·(1/x)^2, e o volume de uma fatia é dV = π·(1/x)^2 dx.
Passo 3
Montamos a integral imprópria para o volume:
V = \int_{1}^{\infty} π\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)^2 dx = π \int_{1}^{\infty} x^{-2} dx.
V = \int_{1}^{\infty} π\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)^2 dx = π \int_{1}^{\infty} x^{-2} dx.
Passo 4
Para avaliar a integral, lembramos que
. Assim:
\int_{1}^{a} x^{-2} dx = \bigl[-\tfrac{1}{x}\bigr]_{1}^{a} = -\tfrac{1}{a} + 1.
\int_{1}^{a} x^{-2} dx = \bigl[-\tfrac{1}{x}\bigr]_{1}^{a} = -\tfrac{1}{a} + 1.
Passo 5
Fazendo o limite quando a → ∞, o termo 1/a tende a zero. Logo
\int_{1}^{\infty} x^{-2} dx = 1.
\int_{1}^{\infty} x^{-2} dx = 1.
Passo 6
Multiplicando pelo fator π, concluímos que o volume do sólido é π, um valor finito apesar do sólido se estender infinitamente.