Verifique se as integrais impróprias convergem ou não.
integral-infty^+infty e^xe^2 x+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da integral imprópria integral-infty^+inftye^xe^2x+1,dx e, se convergir, calcular seu valor. O conteúdo envolve análise de comportamento em infinitos e mudança de variável para facilitar o cálculo.

Passo 2

Analisamos o comportamento quando xto-infty e quando xto+infty. Para xto-infty, temos e^xto0 e e^2x+1to1, de modo que o integrando se comporta como e^x, cujo integral em xto+infty converge. Para e^x/e^2x=e^-x, o integrando se aproxima de (A,infty), que também gera integral convergente em . Logo, a integral é convergente.

Passo 3

Para calcular o valor, fazemos a mudança de variável u=e^x. Então du=e^x,dx ou dx=du/u. Quando x vai de -infty a +infty, u vai de 0 a +infty. Substituindo, escrevemos
integral-infty^+inftye^xe^2x+1,dx=integral0^inftyuu^2+1cdotduu=integral0^inftyduu^2+1

Passo 4

Reconhecemos que integral0^inftyduu^2+1=l[arctan(u)r]0^infty=pi2-0=pi2.

Resposta

A integral é convergente e vale pi2.

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