Verifique se as integrais impróprias convergem ou não.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência da integral imprópria
e, se convergir, calcular seu valor. O conteúdo envolve análise de comportamento em infinitos e mudança de variável para facilitar o cálculo.
Passo 2
Analisamos o comportamento quando
e quando
. Para
, temos
e
, de modo que o integrando se comporta como
, cujo integral em
converge. Para
, o integrando se aproxima de
, que também gera integral convergente em
. Logo, a integral é convergente.
Passo 3
Para calcular o valor, fazemos a mudança de variável
. Então
ou
. Quando
vai de
a
,
vai de 0 a
. Substituindo, escrevemos
Passo 4
Reconhecemos que
.
Resposta
A integral é convergente e vale
.