Considere a equação diferencial 2 y^{2}+\frac{2 y}{x}+\left(2 x y+2+\frac{y}{x}\right) y^{\prime}=0.
a) Mostre que a equação dada não é exata
b) Encontre um fator integrante \mu(x)(o u \mu(y)) para a equação, de forma a transformá-la numa equação exata.
c) Verifique que a função \mu(x)(o u \mu(y)) encontrada no item (b) é realmente um fator integrante para a equação dada.
d) Resolva a nova EDO exata obtida multiplicando-se a EDO dada pelo fator integrante.
e) Encontre a solução desta equação que satisfaz y(1)=1.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
2y^{2} + \frac{2y}{x} + \Bigl(2xy + 2 + \frac{y}{x}\Bigr)y' = 0
que podemos escrever na forma
M(x,y) + N(x,y)\,y' = 0
onde
M(x,y) = 2y^{2} + \frac{2y}{x}, \qquad N(x,y) = 2xy + 2 + \frac{y}{x}.
O conteúdo é equações exatas e fatores integrantes.

Passo 2

Para ver se é exata, comparamos
\frac{\partial M}{\partial y} \quad\text{e}\quad \frac{\partial N}{\partial x}.
Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} = 4y + \frac{2}{x}, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = 2y - \frac{y}{x^{2}}.
Como
4y + \frac{2}{x} \;\neq\; 2y - \frac{y}{x^{2}},
a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante do tipo \mu(x^{m}y^{n}). Para \mu=x^{m}y^{n} torna­-se exata se
n\,M + y\,\frac{\partial M}{\partial y} \;=\; m\,\frac{y}{x}\,N + y\,\frac{\partial N}{\partial x}.
Substituindo M e N e igualando coeficientes de y^{2}, y/x e y^{2}/x^{2}, obtemos
m = 1, \quad n = 0.
Logo o fator integrante é
\mu(x) = x.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=x. Então
M^{*}(x,y)=x\,M=2x y^{2}+2y, \quad N^{*}(x,y)=x\,N=2x^{2}y+2x+y.
Verificamos agora
\frac{\partial M^{*}}{\partial y} =4xy+2, \qquad \frac{\partial N^{*}}{\partial x} =4xy+2,
que são iguais. Assim, a equação é exata após multiplicar por x.

Passo 5

Como a equação é exata, existe \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x} =2x y^{2}+2y, \qquad \frac{\partial \psi}{\partial y} =2x^{2}y+2x+y.
Integramos \partial \psi/\partial x em x:
\psi(x,y) =\int (2x y^{2}+2y)\,dx = x^{2}y^{2}+2xy + h(y).
Derivando em y e igualando a N^{*}
\frac{\partial \psi}{\partial y} =2x^{2}y+2x + h'(y) \overset!=2x^{2}y+2x+y \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=y \;\Longrightarrow\; h(y)=\frac{y^{2}}{2}.
Logo a solução implícita geral é
\psi(x,y) = x^{2}y^{2}+2xy+\frac{y^{2}}{2} =C.

Passo 6

Para a condição y(1)=1, substituímos x=1, y=1:
1^{2}\cdot1^{2} + 2\cdot1\cdot1 + \frac{1^{2}}{2} =1+2+\tfrac12=\tfrac{7}{2} \;\Longrightarrow\; C=\tfrac{7}{2}.

Resposta

A solução implícita é
x^{2}y^{2}+2xy+\frac{y^{2}}{2}=\frac{7}{2}.
Opcionalmente, isolando y resulta
y=\frac{-2x + \sqrt{18x^{2}+7}}{2x^{2}+1},
que satisfaz y(1)=1.

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