Considere a equação diferencial
.
a) Mostre que a equação dada não é exata
b) Encontre um fator integrante
para a equação, de forma a transformá-la numa equação exata.
c) Verifique que a função
encontrada no item (b) é realmente um fator integrante para a equação dada.
d) Resolva a nova EDO exata obtida multiplicando-se a EDO dada pelo fator integrante.
e) Encontre a solução desta equação que satisfaz
.
a) Mostre que a equação dada não é exata
b) Encontre um fator integrante
c) Verifique que a função
d) Resolva a nova EDO exata obtida multiplicando-se a EDO dada pelo fator integrante.
e) Encontre a solução desta equação que satisfaz
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
que podemos escrever na forma
onde
O conteúdo é equações exatas e fatores integrantes.
Passo 2
Para ver se é exata, comparamos
Calculamos
Como
a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante do tipo
. Para
torna-se exata se
Substituindo
e
e igualando coeficientes de
,
e
, obtemos
Logo o fator integrante é
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
. Então
Verificamos agora
que são iguais. Assim, a equação é exata após multiplicar por
.
Passo 5
Como a equação é exata, existe
tal que
Integramos
em
:
Derivando em
e igualando a
dá
Logo a solução implícita geral é
Passo 6
Para a condição
, substituímos
,
:
Resposta
A solução implícita é
Opcionalmente, isolando
resulta
que satisfaz
.