Considere curva espacial dada pela função vetorial \alpha(t)=\left(t, t^{2}, t^{3}\right), com t \in \mathbb{R}.
(a) Esboce o traço de \alpha.
(b) Calcule e esboce os vetores velocidade de \alpha com t=-1, t=1 e t=3.
(c) Mostre que o traço de \alpha é dado pela interseção das superfícies y=x^{2} e z=x^{3}.

Passo 1

O enunciado apresenta a curva espacial dada por
\alpha(t) = \bigl(t,\,t^{2},\,t^{3}\bigr), t\in\mathbb{R}.
Precisamos de três coisas:
  1. Esboçar o traço de \alpha.
  2. Calcular e esboçar os vetores velocidade \alpha'(t) nos pontos t=-1,1,3.
  3. Mostrar que esse traço é a interseção das superfícies y=x^{2} e z=x^{3}.

Passo 2

Para esboçar o traço note que cada ponto tem coordenadas (x,y,z)=(t,\,t^{2},\,t^{3}).
  • A projeção no plano xy é a parábola y=x^{2}.
  • A projeção no plano xz é a cúbica z=x^{3}.
    Em \mathbb{R}^3 isso gera uma curva que sobe para valores positivos de t (com y e z crescentes) e faz um “braço” simétrico para t<0 (onde y é positivo mas z é negativo).

Passo 3

O vetor velocidade é a derivada de \alpha em relação a t:
\alpha'(t) = \frac{d}{dt}\bigl(t,\,t^{2},\,t^{3}\bigr) = \bigl(1,\,2t,\,3t^{2}\bigr).

Passo 4

Avaliação em t=-1,1,3:
\alpha'(-1) = \bigl(1,\,-2,\,3\bigr),\quad \alpha'(1) = \bigl(1,\,2,\,3\bigr),\quad \alpha'(3) = \bigl(1,\,6,\,27\bigr).
Em cada ponto \alpha(t) traça-se um vetor de direção \alpha'(t). Esses vetores são tangentes à curva e apontam para onde t cresce.

Passo 5

Para mostrar que o traço é a interseção de y=x^{2} e z=x^{3}, note:
  • Se (x,y,z)=\alpha(t), então y=t^{2}=x^{2} e z=t^{3}=x^{3}.
  • Reciprocamente, se (x,y,z) satisfaz y=x^{2} e z=x^{3}, basta escolher t=x para obter \alpha(t)=(x,y,z).
    Logo o conjunto de pontos da curva é exatamente
\{(x,y,z)\mid y=x^{2},\;z=x^{3}\}.

Resposta

(a) O traço é a curva em \mathbb{R}^{3} cuja projeção em xy é uma parábola e em xz é uma cúbica, com “braços” para t\to\pm\infty.
(b) Os vetores velocidade são
\alpha'(-1)=(1,-2,3),
\alpha'(1)=(1,2,3),
\alpha'(3)=(1,6,27),
posicionados tangentes ao traço nos pontos correspondentes.
(c) Demonstramos que o traço é exatamente
\{(x,y,z)\mid y=x^{2},\;z=x^{3}\}, ou seja, a interseção das superfícies y=x^{2} e z=x^{3}.

Exercícios relacionados