Considere curva espacial dada pela função vetorial
, com
.
(a) Esboce o traço de
.
(b) Calcule e esboce os vetores velocidade de
com
,
e
.
(c) Mostre que o traço de
é dado pela interseção das superfícies
e
.
(a) Esboce o traço de
(b) Calcule e esboce os vetores velocidade de
(c) Mostre que o traço de
Passo 1
O enunciado apresenta a curva espacial dada por
,
.
Precisamos de três coisas:
Precisamos de três coisas:
- Esboçar o traço de
. - Calcular e esboçar os vetores velocidade
nos pontos . - Mostrar que esse traço é a interseção das superfícies
e .
Passo 2
Para esboçar o traço note que cada ponto tem coordenadas
.
- A projeção no plano
é a parábola . - A projeção no plano
é a cúbica .
Emisso gera uma curva que sobe para valores positivos de (com e crescentes) e faz um “braço” simétrico para (onde é positivo mas é negativo).
Passo 3
O vetor velocidade é a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Avaliação em
:
Em cada ponto
traça-se um vetor de direção
. Esses vetores são tangentes à curva e apontam para onde
cresce.
Passo 5
Para mostrar que o traço é a interseção de
e
, note:
- Se
, então e . - Reciprocamente, se
satisfaz e , basta escolher para obter .
Logo o conjunto de pontos da curva é exatamente
Resposta
(a) O traço é a curva em
cuja projeção em
é uma parábola e em
é uma cúbica, com “braços” para
.
(b) Os vetores velocidade são
,
,
,
posicionados tangentes ao traço nos pontos correspondentes.
(c) Demonstramos que o traço é exatamente
, ou seja, a interseção das superfícies
e
.
(b) Os vetores velocidade são
posicionados tangentes ao traço nos pontos correspondentes.
(c) Demonstramos que o traço é exatamente