Considere a curva parametrizada
.
(a) Ache os pontos de interseção com o eixo vertical.
(b) Calcule o vetor derivada da curva nos tempos correspondentes aos pontos do item (a).
(c) Ache os pontos da curva nos quais o vetor tangente é vertical.
(d) Esboce a curva com
no intervalo
.
(a) Ache os pontos de interseção com o eixo vertical.
(b) Calcule o vetor derivada da curva nos tempos correspondentes aos pontos do item (a).
(c) Ache os pontos da curva nos quais o vetor tangente é vertical.
(d) Esboce a curva com
Passo 1
O enunciado dá a curva parametrizada
e pede:
(a) interseção com o eixo vertical ( ),
(b) vetor derivada nos do item (a),
(c) pontos em que o vetor tangente é vertical,
(d) esboço para .
Para resolver, vamos (1) achar tais que
, (2) calcular
, (3) encontrar
com componente
=0, e (4) montar um esboço ligando os pontos críticos.
(a) interseção com o eixo vertical (
(b) vetor derivada nos
(c) pontos em que o vetor tangente é vertical,
(d) esboço para
Para resolver, vamos (1) achar
Passo 2
Achamos os
em que a curva cruza o eixo vertical resolvendo
que fatoriza em
Os pontos correspondentes são
Logo a curva passa por
e por
(este último com multiplicidade 2 em
).
Passo 3
O vetor derivada é
Avaliamo-lo em
:
Passo 4
O vetor tangente é vertical quando sua componente
se anula:
Os pontos são
Passo 5
Para esboçar em
, marcamos os pontos chave e observamos simetria (pois
é ímpar e
é par):
- Em
: . - Em
: com tangente vertical. - Em
: com tangente horizontal. - Em
: com tangente vertical. - Em
: de volta.
O ramo sobe dedescendo até , atinge , depois sobe até e retorna a , formando uma curva simétrica em relação ao eixo .
Resposta
(a)
e
.
(b) ,
,
.
(c) Pontos e
.
(d) Esboço conforme descrito: ramo simétrico ligando .
(b)
(c) Pontos
(d) Esboço conforme descrito: ramo simétrico ligando