Considere a curva parametrizada c(t)=(x(t), y(t))=\left(t^{3}-3 t, 3 t^{2}\right).
(a) Ache os pontos de interseção com o eixo vertical.
(b) Calcule o vetor derivada da curva nos tempos correspondentes aos pontos do item (a).
(c) Ache os pontos da curva nos quais o vetor tangente é vertical.
(d) Esboce a curva com t no intervalo [-\sqrt{3}, \sqrt{3}].

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
c(t) = (x(t),y(t)) = \bigl(t^3 - 3t,\;3t^2\bigr)
e pede:
(a) interseção com o eixo vertical ( x=0),
(b) vetor derivada nos t do item (a),
(c) pontos em que o vetor tangente é vertical,
(d) esboço para t\in[-\sqrt{3},\sqrt{3}].
Para resolver, vamos (1) achar t tais que x(t)=0, (2) calcular c'(t), (3) encontrar t com componente x'=0, e (4) montar um esboço ligando os pontos críticos.

Passo 2

Achamos os t em que a curva cruza o eixo vertical resolvendo
x(t)=t^3-3t=0
que fatoriza em
t\,(t^2-3)=0 \;\Longrightarrow\;t=0,\;\pm\sqrt{3}.
Os pontos correspondentes são
c(0)=\bigl(0,\,3\cdot0^2\bigr)=(0,0), \quad c(\pm\sqrt{3})=\Bigl(0,\,3(\sqrt{3})^2\Bigr)=(0,9).
Logo a curva passa por (0,0) e por (0,9) (este último com multiplicidade 2 em t).

Passo 3

O vetor derivada é
c'(t) = \bigl(x'(t),y'(t)\bigr) = \bigl(3t^2-3,\;6t\bigr).
Avaliamo-lo em t=0,\pm\sqrt{3}:
c'(0) =(-3,0), \quad c'(\sqrt{3})=(3\cdot3-3,\;6\sqrt{3})=(6,6\sqrt{3}), \quad c'(-\sqrt{3})=(6,-6\sqrt{3}).

Passo 4

O vetor tangente é vertical quando sua componente x' se anula:
3t^2-3=0\;\Longrightarrow\;t^2=1\;\Longrightarrow\;t=\pm1.
Os pontos são
c(1)=\bigl(1^3-3\cdot1,\;3\cdot1^2\bigr)=(-2,3), \quad c(-1)=\bigl((-1)^3-3(-1),\;3\cdot(-1)^2\bigr)=(2,3).

Passo 5

Para esboçar em t\in[-\sqrt{3},\sqrt{3}], marcamos os pontos chave e observamos simetria (pois x(t) é ímpar e y(t) é par):
  • Em t=-\sqrt{3}: (0,9).
  • Em t=-1 : (2,3) com tangente vertical.
  • Em t=0 : (0,0) com tangente horizontal.
  • Em t=1 : (-2,3) com tangente vertical.
  • Em t=\sqrt{3}: (0,9) de volta.
    O ramo sobe de (0,9) descendo até (2,3), atinge (0,0), depois sobe até (-2,3) e retorna a (0,9), formando uma curva simétrica em relação ao eixo y.

Resposta

(a) (0,0) e (0,9).
(b) c'(0)=(-3,0), c'(\sqrt{3})=(6,6\sqrt{3}), c'(-\sqrt{3})=(6,-6\sqrt{3}).
(c) Pontos (-2,3) e (2,3).
(d) Esboço conforme descrito: ramo simétrico ligando (0,9)\to(2,3)\to(0,0)\to(-2,3)\to(0,9).

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