Resolva a equação diferencial
2 y^prime prime+y^prime-y=x+1
sob as condições y(0)=1 e y^prime(0)=0.

Passo 1

Estamos lidando com a equação diferencial 2 y'' + y' - y = x + 1, onde y'' é a segunda derivada de y em relação a x e y' é a primeira derivada. As condições iniciais são y(0) = 1 e y'(0) = 0. Para resolver essa equação, vamos usar métodos para equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisaremos encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é 2 y'' + y' - y = 0. Para isso, assumimos uma solução da forma y = e^rt, onde r é um número que precisamos encontrar. Substituindo na equação homogênea:
2 r^2 e^rt + r e^rt - e^rt = 0
Podemos dividir por e^rt (já que e^rt neq 0):
2 r^2 + r - 1 = 0

Passo 3

Agora, resolvemos a equação quadrática 2 r^2 + r - 1 = 0 para encontrar os valores de r. Usamos a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a = 2, b = 1 e c = -1. Substituindo:
r = -1 pm raiz1 + 84 = -1 pm 34
Então, temos duas soluções para r:
r1 = 24 = 12, r2 = -44 = -1

Passo 4

Com os valores de r, a solução geral da equação homogênea é:
yh(x) = C1 e^12x + C2 e^-x
Onde C1 e C2 são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa 2 y'' + y' - y = x + 1. Observando o lado direito, que é um polinômio de primeiro grau, tentamos uma solução particular da forma yp(x) = Ax + B, onde A e B são constantes a serem encontradas.

Passo 6

Calculamos as derivadas de yp(x):
yp' = A
yp'' = 0
Substituindo yp, yp' e yp'' na equação diferencial:
2(0) + A - (Ax + B) = x + 1
A - Ax - B = x + 1

Passo 7

Agora, agrupamos os termos semelhantes:
- A x + (A - B) = x + 1
Igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para x:
- A = 1 Rightarrow A = -1
Para os termos constantes:
A - B = 1 Rightarrow -1 - B = 1 Rightarrow B = -2

Passo 8

Com A = -1 e B = -2, a solução particular é:
yp(x) = -x - 2

Passo 9

A solução geral da equação diferencial completa é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 e^12x + C2 e^-x - x - 2

Passo 10

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar C1 e C2.
Primeira condição: y(0) = 1
1 = C1 e^0 + C2 e^0 - 0 - 2 implies 1 = C1 + C2 - 2 implies C1 + C2 = 3

Passo 11

Segunda condição: y'(0) = 0
Primeiro, encontramos a derivada de y(x):
y'(x) = 12 C1 e^12x - C2 e^-x - 1
Aplicando x = 0:
0 = 12 C1 - C2 - 1
Então:
12 C1 - C2 = 1

Passo 12

Agora temos um sistema de equações:
C1 + C2 = 3 12 C1 - C2 = 1
Somando as duas equações:
C1 + C2 + 12 C1 - C2 = 3 + 1 implies 32 C1 = 4 implies C1 = 83
Substituindo C1 na primeira equação:
83 + C2 = 3 implies C2 = 3 - 83 = 13

Passo 13

Com os valores de C1 e C2, a solução específica da equação diferencial é:
y(x) = 83 e^12x + 13 e^-x - x - 2

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(x) = 83 e^12x + 13 e^-x - x - 2

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