Resolva a equação diferencial
sob as condições
e
.
Passo 1
Estamos lidando com a equação diferencial
, onde
é a segunda derivada de
em relação a
e
é a primeira derivada. As condições iniciais são
e
. Para resolver essa equação, vamos usar métodos para equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisaremos encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Para isso, assumimos uma solução da forma
, onde
é um número que precisamos encontrar. Substituindo na equação homogênea:
Podemos dividir por
(já que
):
Passo 3
Agora, resolvemos a equação quadrática
para encontrar os valores de
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Substituindo:
Então, temos duas soluções para
:
Passo 4
Com os valores de
, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa
. Observando o lado direito, que é um polinômio de primeiro grau, tentamos uma solução particular da forma
, onde
e
são constantes a serem encontradas.
Passo 6
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo
,
e
na equação diferencial:
Passo 7
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para
:
Para os termos constantes:
Passo 8
Com
e
, a solução particular é:
Passo 9
A solução geral da equação diferencial completa é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 10
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeira condição:
Passo 11
Segunda condição:
Primeiro, encontramos a derivada de
:
Aplicando
:
Então:
Passo 12
Agora temos um sistema de equações:
Somando as duas equações:
Substituindo
na primeira equação:
Passo 13
Com os valores de
e
, a solução específica da equação diferencial é:
Resposta
A solução da equação diferencial é: