Considere a equação diferencial:
y^prime prime-y^prime-2 y=0
b) Encontre as raízes da equação característica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do segundo grau:
y'' - y' - 2y = 0
O que precisamos fazer aqui é encontrar as raízes da equação característica dessa equação diferencial. Para isso, vamos usar o conteúdo de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para resolver uma equação diferencial linear homogênea como essa, a gente assume que a solução tem a forma y = e^rt, onde r é uma constante que vamos descobrir.

Passo 3

A gente substitui y = e^rt na equação diferencial:
y'' - y' - 2y = 0
Calculando as derivadas:
y' = re^rt
y'' = r^2 e^rt

Passo 4

Substituindo essas expressões na equação original:
r^2 e^rt - r e^rt - 2 e^rt = 0
Como e^rt nunca é zero, a gente pode dividir toda a equação por e^rt e fica:
r^2 - r - 2 = 0

Passo 5

Essa é a chamada equação característica. Agora, precisamos encontrar as raízes dessa equação quadrática:
r^2 - r - 2 = 0

Passo 6

Para resolver a equação quadrática r^2 - r - 2 = 0, vamos usar a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde, no nosso caso, a = 1, b = -1 e c = -2.

Passo 7

Substituindo os valores na fórmula:
r = -(-1) pm raiz(-1)^2 - 4 cdot 1 cdot (-2)2 cdot 1
Simplificando:
r = 1 pm raiz1 + 82
r = 1 pm raiz92

Passo 8

Como raiz9 = 3, temos:
r = 1 pm 32
Isso nos dá duas soluções:
  1. r = 1 + 32 = 2
  2. r = 1 - 32 = -1

Resposta

As raízes da equação característica são r1 = 2 e r2 = -1.

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