Considere a equação diferencial:
b) Encontre as raízes da equação característica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do segundo grau:
O que precisamos fazer aqui é encontrar as raízes da equação característica dessa equação diferencial. Para isso, vamos usar o conteúdo de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para resolver uma equação diferencial linear homogênea como essa, a gente assume que a solução tem a forma
, onde
é uma constante que vamos descobrir.
Passo 3
A gente substitui
na equação diferencial:
Calculando as derivadas:
Passo 4
Substituindo essas expressões na equação original:
Como
nunca é zero, a gente pode dividir toda a equação por
e fica:
Passo 5
Essa é a chamada equação característica. Agora, precisamos encontrar as raízes dessa equação quadrática:
Passo 6
Para resolver a equação quadrática
, vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde, no nosso caso,
,
e
.
Passo 7
Substituindo os valores na fórmula:
Simplificando:
Passo 8
Como
, temos:
Isso nos dá duas soluções:
Resposta
As raízes da equação característica são
e
.