Considere a equação diferencial:
a) Determine a equação característica.
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: temos uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes, e precisamos determinar a equação característica. Para isso, vamos usar métodos de equações diferenciais lineares que ajudam a encontrar soluções de forma mais simples.
Passo 2
A equação diferencial dada é:
onde:
- $ y’’ $ é a segunda derivada de $ y $ em relação a $ x $,
- $ y’ $ é a primeira derivada de $ y $,
- $ y $ é a função original.
Passo 3
Para encontrar a equação característica, assumimos que a solução da equação diferencial é da forma $ y = e^{rx} $, onde $ r $ é uma constante que precisamos determinar.
Passo 4
Substituindo $ y = e^{rx} $ na equação diferencial, calculamos as derivadas:
Passo 5
Agora, substituímos $ y $, $ y’ $ e $ y’’ $ na equação diferencial original:
Passo 6
Como $ e^{rx} $ nunca é zero, podemos dividir toda a equação por $ e^{rx} $:
Resposta
A equação característica é: