Considere a equação diferencial:
y^prime prime-y^prime-2 y=0
a) Determine a equação característica.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: temos uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes, e precisamos determinar a equação característica. Para isso, vamos usar métodos de equações diferenciais lineares que ajudam a encontrar soluções de forma mais simples.

Passo 2

A equação diferencial dada é:
y'' - y' - 2y = 0,
onde:
  • $ y’’ $ é a segunda derivada de $ y $ em relação a $ x $,
  • $ y’ $ é a primeira derivada de $ y $,
  • $ y $ é a função original.

Passo 3

Para encontrar a equação característica, assumimos que a solução da equação diferencial é da forma $ y = e^{rx} $, onde $ r $ é uma constante que precisamos determinar.

Passo 4

Substituindo $ y = e^{rx} $ na equação diferencial, calculamos as derivadas:
y = e^rx
y' = r e^rx,

Passo 5

Agora, substituímos $ y $, $ y’ $ e $ y’’ $ na equação diferencial original:
y

Passo 6

Como $ e^{rx} $ nunca é zero, podemos dividir toda a equação por $ e^{rx} $:
e^rx

Resposta

A equação característica é:
r^2 - r - 2 = 0

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