Se estiver se sentindo desafiado, prove que a soma de duas soluções de uma EDO linear é, de fato, outra solução da mesma equação!

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que nos pede para provar que, se tivermos duas soluções para uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear, a soma dessas duas soluções também será uma solução dessa mesma EDO. Vamos precisar entender o que é uma EDO linear e como as soluções delas se comportam. Vamos resolver isso juntinhos, passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma EDO linear. Uma EDO linear de primeira ordem, por exemplo, tem a forma geral:
dydx + P(x)y = Q(x)
Aqui, $ P(x) $ e $ Q(x) $ são funções conhecidas de $ x $, e $ y $ é a função que estamos tentando encontrar. O que torna essa equação “linear” é que $ y $ e suas derivadas aparecem apenas na primeira potência e não são multiplicadas entre si.

Passo 3

Agora, vamos supor que temos duas soluções dessa EDO linear. Vamos chamar essas soluções de $ y_1(x) $ e $ y_2(x) $. Isso significa que ambas satisfazem a equação original. Ou seja:
y1(x)
e
y2(x)

Passo 4

O que queremos mostrar é que a soma dessas duas soluções, $ y(x) = y_1(x) + y_2(x) $, também satisfaz a mesma EDO. Então, vamos substituir $ y(x) $ na equação:
y(x) = y1(x) + y2(x)

Passo 5

Vamos calcular a derivada da soma:
ddx(y1 + y2) = dy1dx + dy2dx
Substituindo de volta na equação, temos:
( dy1dx + dy2dx ) + P(x)(y1 + y2) = Q(x)

Passo 6

Agora, vamos reorganizar os termos:
( dy1dx + P(x)y1 ) + ( dy2dx + P(x)y2 ) = Q(x)
Mas, como vimos no Passo 3, tanto $ y_1 $ quanto $ y_2 $ satisfazem a EDO original, então:
y1
Isso só faz sentido se $ Q(x) = Q(x) $, o que é verdade.

Passo 7

Portanto, mostramos que a soma $ y(x) = y_1(x) + y_2(x) $ satisfaz a mesma EDO linear que $ y_1 $ e $ y_2 $. Assim, a soma de duas soluções de uma EDO linear é, de fato, outra solução da mesma equação.

Resposta

A soma de duas soluções $ y_1(x) $ e $ y_2(x) $ de uma EDO linear também é uma solução dessa EDO, ou seja, $ y(x) = y_1(x) + y_2(x) $ satisfaz a mesma equação diferencial.

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