Prova de Calculo Dif. e Integral 3
Calcule o comprimento da curva
.
Calcule o comprimento da curva
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Cálculo Diferencial e Integral juntos! A questão pede para calcular o comprimento da curva definida por
para
variando de
a
. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco de uma curva no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar como calcular o comprimento de uma curva parametrizada. A fórmula geral para o comprimento de arco
de uma curva
no intervalo
é:
Ou seja, a integral da raiz quadrada da soma dos quadrados das derivadas das componentes da curva em relação a
.
Passo 3
Vamos identificar as componentes da nossa curva
:
Precisamos calcular as derivadas de cada uma dessas funções em relação a
.
Passo 4
Calculando as derivadas:
Passo 5
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Vamos simplificar os termos dentro da raiz.
Passo 6
Elevando ao quadrado cada termo:
Então, a expressão fica:
Passo 7
Fatorando o 4 das duas primeiras parcelas:
Sabemos que
, então:
Portanto:
Passo 8
A raiz de 5 é uma constante, então podemos tirá-la da integral:
A integral de
de
a
é simplesmente
, então:
Resposta
O comprimento da curva
no intervalo
é
.