Prova de Calculo Dif. e Integral 3
Calcule o comprimento da curva c(t)=(cos (2 t), sen(2 t), t), t in[0,2 pi].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Cálculo Diferencial e Integral juntos! A questão pede para calcular o comprimento da curva definida por c(t) = (cos(2t), sin(2t), t) para t variando de 0 a 2pi. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco de uma curva no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como calcular o comprimento de uma curva parametrizada. A fórmula geral para o comprimento de arco L de uma curva c(t) = (x(t), y(t), z(t)) no intervalo [a, b] é:
L = integrala^b raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 + (dzdt)^2 , dt
Ou seja, a integral da raiz quadrada da soma dos quadrados das derivadas das componentes da curva em relação a t.

Passo 3

Vamos identificar as componentes da nossa curva c(t):
  • x(t) = cos(2t)
  • y(t) = sin(2t)
  • z(t) = t
Precisamos calcular as derivadas de cada uma dessas funções em relação a t.

Passo 4

Calculando as derivadas:
  • dxdt = ddt cos(2t) = -2sin(2t)
  • dydt = ddt sin(2t) = 2cos(2t)
  • dzdt = ddt t = 1

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
L = integral0^2pi raiz(-2sin(2t))^2 + (2cos(2t))^2 + (1)^2 , dt
Vamos simplificar os termos dentro da raiz.

Passo 6

Elevando ao quadrado cada termo:
  • (-2sin(2t))^2 = 4sin^2(2t)
  • (2cos(2t))^2 = 4cos^2(2t)
  • (1)^2 = 1
Então, a expressão fica:
L = integral0^2pi raiz4sin^2(2t) + 4cos^2(2t) + 1 , dt

Passo 7

Fatorando o 4 das duas primeiras parcelas:
L = integral0^2pi raiz4(sin^2(2t) + cos^2(2t)) + 1 , dt
Sabemos que sin^2(theta) + cos^2(theta) = 1, então:
sin^2(2t) + cos^2(2t) = 1
Portanto:
L = integral0^2pi raiz4(1) + 1 , dt = integral0^2pi raiz5 , dt

Passo 8

A raiz de 5 é uma constante, então podemos tirá-la da integral:
L = raiz5 integral0^2pi dt
A integral de dt de 0 a 2pi é simplesmente 2pi, então:
L = raiz5 cdot 2pi = 2piraiz5

Resposta

O comprimento da curva c(t) = (cos(2t), sin(2t), t) no intervalo [0, 2pi] é 2piraiz5.

Exercícios relacionados