Considere a equação diferencial
a) (3 pontos) Determine a solução geral da equação diferencial acima.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial que envolve funções de
e
. O objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para resolver, vamos precisar aplicar técnicas de separação de variáveis e integração.
Passo 2
Vamos começar reescrevendo a equação diferencial para facilitar a separação das variáveis. A equação dada é:
Podemos simplificar o lado direito dividindo
por
:
Passo 3
Agora, para separar as variáveis
e
, colocamos todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro lado da equação:
Passo 4
Vamos simplificar a fração do lado esquerdo. Multiplicando numerador e denominador por
para eliminar a fração:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. Começamos pela parte de
:
Fazendo uma substituição
, temos
, ou seja,
. A integral se torna:
Passo 6
Agora, integramos o lado de
:
Passo 7
Igualando as duas integrais, temos:
Podemos multiplicar ambos os lados por 4 para simplificar:
Onde
é uma constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: