Considere a equação diferencial
y' = ((2 y^2 - 4)(x^2 + 6 x)) / y
a) (3 pontos) Determine a solução geral da equação diferencial acima.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial que envolve funções de e . O objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para resolver, vamos precisar aplicar técnicas de separação de variáveis e integração.

Passo 2

Vamos começar reescrevendo a equação diferencial para facilitar a separação das variáveis. A equação dada é:
Podemos simplificar o lado direito dividindo por :

Passo 3

Agora, para separar as variáveis e , colocamos todos os termos com de um lado e os termos com do outro lado da equação:

Passo 4

Vamos simplificar a fração do lado esquerdo. Multiplicando numerador e denominador por para eliminar a fração:

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. Começamos pela parte de :
Fazendo uma substituição , temos , ou seja, . A integral se torna:

Passo 6

Agora, integramos o lado de :

Passo 7

Igualando as duas integrais, temos:
Podemos multiplicar ambos os lados por 4 para simplificar:
Onde é uma constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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