Seja
o solido que está entre acima da superficie
e dentro da superficie
.
a) (2 pontos) Escreva uma integral que corresponde ao volume do solilido
.
a) (2 pontos) Escreva uma integral que corresponde ao volume do solilido
Passo 1
Então, a gente tem um sólido chamado
que está acima da superfície
e dentro da esfera
. Nosso objetivo aqui é escrever uma integral que calcule o volume desse sólido. Para isso, vamos precisar usar coordenadas cilindricas porque as superfícies têm simetria circular, o que facilita na hora de definir os limites da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as equações para coordenadas cilíndricas. Lembrando que em coordenadas cilíndricas, temos:
E a distância ao quadrado é
.
Passo 3
A superfície
em coordenadas cilíndricas fica:
Isso nos dá o limite inferior para
.
Passo 4
A esfera
em coordenadas cilíndricas fica:
Esse é o limite superior para
.
Passo 5
Agora, vamos definir os limites para
e
. Como a figura é simétrica em torno do eixo
,
varia de
a
. Para
, ele vai de
até o ponto onde as duas superfícies se encontram. Igualando
, resolvendo encontramos
.
Passo 6
Com todos os limites definidos, podemos escrever a integral tripla para o volume
do sólido
:
Resposta
A integral que corresponde ao volume do sólido
é: