Seja S o solido que está entre acima da superficie z = raiz(3 x^2 + 3 y^2) e dentro da superficie x^2 + y^2 + z^2 = 16.
a) (2 pontos) Escreva uma integral que corresponde ao volume do solilido S.

Passo 1

Então, a gente tem um sólido chamado que está acima da superfície e dentro da esfera . Nosso objetivo aqui é escrever uma integral que calcule o volume desse sólido. Para isso, vamos precisar usar coordenadas cilindricas porque as superfícies têm simetria circular, o que facilita na hora de definir os limites da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as equações para coordenadas cilíndricas. Lembrando que em coordenadas cilíndricas, temos:
E a distância ao quadrado é .

Passo 3

A superfície em coordenadas cilíndricas fica:
Isso nos dá o limite inferior para .

Passo 4

A esfera em coordenadas cilíndricas fica:
Esse é o limite superior para .

Passo 5

Agora, vamos definir os limites para e . Como a figura é simétrica em torno do eixo , varia de a . Para , ele vai de até o ponto onde as duas superfícies se encontram. Igualando , resolvendo encontramos .

Passo 6

Com todos os limites definidos, podemos escrever a integral tripla para o volume do sólido :

Resposta

A integral que corresponde ao volume do sólido é:

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