Utilize apenas a definição por limite f^prime(x)=lim h 0 f(x+h)-f(x)h para determinar a equação inclinação da reta tangente y-y0=m^prime cdot(x-x0) ao gráfico de f no ponto dado. f(x)=2 x-3; ponto (2,1)

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função f^prime(x) = lim h 0 f(x+h) - f(x)h no ponto . Para isso, vamos usar a definição de derivada por limite:
Precisamos calcular essa derivada para determinar a inclinação da reta tangente e, em seguida, usar essa inclinação para encontrar a equação da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a definição de derivada para a função dada f^prime(x) = lim h 0 f(x+h) - f(x)h . Substituímos na fórmula da derivada:

Passo 3

Calculamos f(x+h) = 2(x + h) - 3 = 2x + 2h - 3 :
f(x+h) - f(x) = (2x + 2h - 3) - (2x - 3) = 2h
Agora, subtraímos :

Passo 4

Substituímos de volta na definição de derivada:
f^prime(x) = lim h 0 2hh = lim h 0 2 = 2
Portanto, a derivada da função é constante e igual a 2.

Passo 5

Agora que temos a derivada y - y0 = m' cdot (x - x0) , essa representa a inclinação y - 1 = 2 cdot (x - 2) da reta tangente ao gráfico de no ponto . A equação da reta tangente é dada por:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico de y - 1 = 2(x - 2) no ponto é:

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