Considere a equação diferencial
y' = ((2 y^2 - 4)(x^2 + 6 x)) / y
b) (1 ponto) Determine a solução da equação diferencial dada que atende à condição inicial y(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que precisa resolver e encontrar a solução que passa pelo ponto . A equação que tá rolando é:
Para resolver isso, vamos precisar usar o método de separação de variáveis, que ajuda a separar os termos com dos termos com para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar a separação. Observa que:
Então, a equação fica:

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Para isso, reescrevemos a equação como:
Dividindo ambos os lados por e multiplicando por , temos:

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados. Começando com o lado esquerdo, fazemos uma substituição para facilitar:
Deixe , então , ou seja, .
Substituindo na integral:
Do lado direito, integramos diretamente:

Passo 5

Igualando as integrais:
Para simplificar, multiplicamos ambos os lados por 4:
Onde .

Passo 6

Agora, vamos resolver para . Primeiro, removemos o logaritmo exponenciando ambos os lados:
Onde .
Então:
Para simplificar, podemos renomear a constante:

Passo 7

Finalmente, tiramos a raiz quadrada para achar :

Passo 8

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :
Substituindo e :
Isso confirma que a constante está correta.

Resposta

A solução da equação diferencial que atende à condição inicial é:

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