Seja
o solido que está entre acima da superficie
e dentro da superficie
.
b) (4 pontos) Calcule o volume do sólido
.
b) (4 pontos) Calcule o volume do sólido
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume do sólido
que está acima da superfície
e dentro da esfera
. Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que facilitam bastante na hora de lidar com simetrias circulares como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as superfícies que definem o sólido
:
-
Superfície de base:
. Podemos reescrever isso como , que em coordenadas cilíndricas fica , onde é a distância ao eixo . -
Esfera:
. Em coordenadas cilíndricas, isso se transforma em .
Agora, nosso objetivo é encontrar os limites de integração para
,
e
.
Passo 3
Vamos determinar o intervalo para
. A interseção das duas superfícies ocorre quando
. Elevando ambos os lados ao quadrado:
Então,
varia de 0 a 2.
Para
, como temos simetria completa ao redor do eixo
,
varia de 0 a
.
Para
, ele vai de
(base inferior) até
(superfície da esfera).
Passo 4
Agora, vamos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas para calcular o volume
:
Aqui, o fator
é o jacobiano da mudança para coordenadas cilíndricas.
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, nossa integral fica:
Passo 6
Vamos separar a integral em duas partes:
Calculando cada integral:
- Primeira integral:
. Fazemos a substituição , :
- Segunda integral:
Substituindo de volta:
Passo 7
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
O volume do sólido
é: