Seja S o solido que está entre acima da superficie z = raiz(3 x^2 + 3 y^2) e dentro da superficie x^2 + y^2 + z^2 = 16.
b) (4 pontos) Calcule o volume do sólido S.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume do sólido que está acima da superfície e dentro da esfera . Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que facilitam bastante na hora de lidar com simetrias circulares como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as superfícies que definem o sólido :
  1. Superfície de base: . Podemos reescrever isso como , que em coordenadas cilíndricas fica , onde é a distância ao eixo .
  2. Esfera: . Em coordenadas cilíndricas, isso se transforma em .
Agora, nosso objetivo é encontrar os limites de integração para , e .

Passo 3

Vamos determinar o intervalo para . A interseção das duas superfícies ocorre quando . Elevando ambos os lados ao quadrado:
Então, varia de 0 a 2.
Para , como temos simetria completa ao redor do eixo , varia de 0 a .
Para , ele vai de (base inferior) até (superfície da esfera).

Passo 4

Agora, vamos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas para calcular o volume :
Aqui, o fator é o jacobiano da mudança para coordenadas cilíndricas.

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
Agora, nossa integral fica:

Passo 6

Vamos separar a integral em duas partes:
Calculando cada integral:
  1. Primeira integral: . Fazemos a substituição , :
  1. Segunda integral:
Substituindo de volta:

Passo 7

Agora, integramos em relação a :

Resposta

O volume do sólido é:
ú

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