Considere a equação diferencial:
(y^2-8 x y)+(2 x y-4 x^2) y^prime=0
Mostre que a equação diferencial (2) é exata.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou é sobre equações diferenciais, mais especificamente, precisamos mostrar que uma determinada equação é exata. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma equação exata e verificar se a equação dada atende a esse critério.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para identificar melhor suas partes. A equação dada é:
(y^2 - 8xy) + (2xy - 4x^2) y' = 0
Podemos reorganizar isso para ficar na forma padrão de uma equação diferencial exata:
M(x, y) + N(x, y) y' = 0
Aqui, temos:
M(x, y) = y^2 - 8xy e N(x, y) = 2xy - 4x^2

Passo 3

Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos checar se a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $ é igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ x $. Ou seja, precisamos calcular $ \frac{\partial M}{\partial y} $ e $ \frac{\partial N}{\partial x} $ e ver se são iguais.

Passo 4

Vamos calcular $ \frac{\partial M}{\partial y} $:
partial Mpartial y
Derivando em relação a $ y $:
M(x, y) = y^2 - 8xy

Passo 5

Agora, vamos calcular $ \frac{\partial N}{\partial x} $:
partial Npartial x
Derivando em relação a $ x $:
N(x, y) = 2xy - 4x^2

Passo 6

Comparando as duas derivadas parciais:
partial Mpartial y = 2y - 8x e partial Npartial x = 2y - 8x
Vemos que elas são iguais!

Resposta

Como $ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} $, a equação diferencial é exata.

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