Considere a equação diferencial:
Mostre que a equação diferencial (2) é exata.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou é sobre equações diferenciais, mais especificamente, precisamos mostrar que uma determinada equação é exata. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma equação exata e verificar se a equação dada atende a esse critério.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para identificar melhor suas partes. A equação dada é:
Podemos reorganizar isso para ficar na forma padrão de uma equação diferencial exata:
Aqui, temos:
Passo 3
Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos checar se a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $ é igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ x $. Ou seja, precisamos calcular $ \frac{\partial M}{\partial y} $ e $ \frac{\partial N}{\partial x} $ e ver se são iguais.
Passo 4
Vamos calcular $ \frac{\partial M}{\partial y} $:
Derivando em relação a $ y $:
Passo 5
Agora, vamos calcular $ \frac{\partial N}{\partial x} $:
Derivando em relação a $ x $:
Passo 6
Comparando as duas derivadas parciais:
Vemos que elas são iguais!
Resposta
Como $ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} $, a equação diferencial é exata.