Para uma equação diferencial de segunda ordem da forma
y^prime prime=f(t, y^prime)
a substituiçãa
l v=y^prime v^prime=y^prime prime
leva a uma equação diferencial de primeira ordem da forma
v^prime=f(t, v)
Se essa equação puder ser resolvida para v, então y pode ser obtida integrando-se d yd t=v, ou seja:
y=integral v d t
Note que se obtêm uma constante arbitrária ao se resolver a equação de primeira ordem para v e uma segunda constante é introduzida na integração para se encontrar y.
Use esse método para encontrar uma solução para a equação diferencial:
t^2 y^prime prime+2 t y^prime-1=0, t>0
Escolha uma opção:
y=c1 t^-1+c2+ln t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de segunda ordem: t^2 y'' + 2t y' - 1 = 0 para t>0, usando o método de redução de ordem via substituição v = y'. O conteúdo envolve resolver uma EDO de primeira ordem linear em v e depois integrar para obter y.

Passo 2

Fazemos a substituição v = y', logo v' = y''. Substituindo na equação original obtemos:
t^2 v' + 2t v - 1 = 0
Reescrevendo em forma padrão dividindo por t^2: v' + tfrac2tv = tfrac1t^2.

Passo 3

Reconhecemos que é uma EDO linear de primeira ordem em v. Calculamos o fator integrante:
mu(t) = e^integral 2t ,dt = e^2ln t = t^2

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(t) e obtemos:
t^2 v' + 2t v = 1
O lado esquerdo é a derivada de t^2 v:
ddt(t^2 v) = 1
Integrando ambos os lados: t^2 v = t + C1, de onde
v = y' = t + C1t^2 = 1t + C1 t^-2

Passo 5

Agora integramos y' = v para achar y:
y = integrall(1t + C1 t^-2r) dt = ln t - C1 t^-1 + C2
Renomeando a constante -C1 para C1, ficamos com
y = C1 t^-1 + ln t + C2

Passo 6

Obtemos a solução geral que coincide com a opção apresentada.

Resposta

y = c1 t^-1 + c2 + ln t

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