Para uma equação diferencial de segunda ordem da forma
a substituiçãa
leva a uma equação diferencial de primeira ordem da forma
Se essa equação puder ser resolvida para
, então
pode ser obtida integrando-se
, ou seja:
Note que se obtêm uma constante arbitrária ao se resolver a equação de primeira ordem para
e uma segunda constante é introduzida na integração para se encontrar
.
Use esse método para encontrar uma solução para a equação diferencial:
Escolha uma opção:
Use esse método para encontrar uma solução para a equação diferencial:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO de segunda ordem:
para
, usando o método de redução de ordem via substituição
. O conteúdo envolve resolver uma EDO de primeira ordem linear em
e depois integrar para obter
.
Passo 2
Fazemos a substituição
, logo
. Substituindo na equação original obtemos:
Reescrevendo em forma padrão dividindo por
Passo 3
Reconhecemos que é uma EDO linear de primeira ordem em
. Calculamos o fator integrante:
Passo 4
Multiplicamos a equação padrão por
e obtemos:
O lado esquerdo é a derivada de
:
Integrando ambos os lados:
, de onde
Passo 5
Agora integramos
para achar
:
Renomeando a constante
para
, ficamos com
Passo 6
Obtemos a solução geral que coincide com a opção apresentada.