Considere a equação diferencial:
Encontre a solução geral da equação (2).
Passo 1
No enunciado temos a equação diferencial \ (y{2}-8xy)+(2xy-4x{2})y’=0. O conteúdo é equações exatas de primeira ordem. Para resolver, vamos identificar M(x,y)=y^{2}-8xy e N(x,y)=2xy-4x^{2} e checar se a equação é exata.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais para testar a exatidão. Temos \ ∂M/∂y=2y-8x \ e \ ∂N/∂x=2y-8x. Como ∂M/∂y=∂N/∂x, a equação é exata.
Passo 3
Buscamos uma função potencial Ψ(x,y) tal que \ ∂Ψ/∂x=M. Integramos M em relação a x: \ Ψ(x,y)=∫(y^{2}-8xy)dx = x y{2}-4x{2}y + h(y), onde h(y) é função a determinar.
Passo 4
Agora impomos ∂Ψ/∂y=N: \ ∂Ψ/∂y=2xy-4x^{2}+h’(y). Devemos ter \ 2xy-4x{2}+h’(y)=2xy-4x{2}, logo h’(y)=0 e h(y)=constante. Assim a solução implícita é Ψ(x,y)=C.