Considere a equação diferencial:
(y^2-8 x y)+(2 x y-4 x^2) y^prime=0
Encontre a solução geral da equação (2).

Passo 1

No enunciado temos a equação diferencial \ (y{2}-8xy)+(2xy-4x{2})y’=0. O conteúdo é equações exatas de primeira ordem. Para resolver, vamos identificar M(x,y)=y^{2}-8xy e N(x,y)=2xy-4x^{2} e checar se a equação é exata.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais para testar a exatidão. Temos \ ∂M/∂y=2y-8x \ e \ ∂N/∂x=2y-8x. Como ∂M/∂y=∂N/∂x, a equação é exata.

Passo 3

Buscamos uma função potencial Ψ(x,y) tal que \ ∂Ψ/∂x=M. Integramos M em relação a x: \ Ψ(x,y)=∫(y^{2}-8xy)dx = x y{2}-4x{2}y + h(y), onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Agora impomos ∂Ψ/∂y=N: \ ∂Ψ/∂y=2xy-4x^{2}+h’(y). Devemos ter \ 2xy-4x{2}+h’(y)=2xy-4x{2}, logo h’(y)=0 e h(y)=constante. Assim a solução implícita é Ψ(x,y)=C.

Resposta

x y^2-4x^2y=C

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