Considere a equação diferencial:
Encontre a solução da equação (2) se a condição inicial for
.
Passo 1
Estamos com a equação diferencial
que é um caso clássico de ED exata. Vamos usar teoria de formas diferenciais exatas: verificar exatidão, achar uma função potencial
e aplicar a condição inicial
.
Passo 2
Definimos
Calculamos as derivadas parciais:
Como são iguais, a equação é exata.
Passo 3
Procuramos uma função potencial
tal que
e
Integramos
em relação a
:
Para ajustar a parte de
, derivamos em relação a
:
e igualamos a
, obtendo
. Logo
.
Passo 4
A condição geral implícita é
Usando
temos
Assim a solução implícita é
Passo 5
Para obter
explicitamente, tratamos como equação quadrática em
:
Pela fórmula de Bhaskara:
Como
exige o sinal positivo, escolhemos o “+”.
Resposta
A solução que satisfaz
é