Considere a equação diferencial:
(y^2-8 x y)+(2 x y-4 x^2) y^prime=0
Encontre a solução da equação (2) se a condição inicial for y(1)=3.

Passo 1

Estamos com a equação diferencial
(y^2-8xy)+(2xy-4x^2)y'=0
que é um caso clássico de ED exata. Vamos usar teoria de formas diferenciais exatas: verificar exatidão, achar uma função potencial F(x,y) e aplicar a condição inicial y(1)=3.

Passo 2

Definimos
M(x,y)=y^2-8xy,
N(x,y)=2xy-4x^2
Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y=2y-8x,
partial Npartial x=2y-8x
Como são iguais, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos uma função potencial F(x,y) tal que
partial Fpartial x=M(x,y)
e
partial Fpartial y=N(x,y)
Integramos M em relação a x:
F(x,y)=integral(y^2-8xy),dx=xy^2-4x^2y+h(y)
Para ajustar a parte de y, derivamos em relação a y:
partial Fpartial y=2xy-4x^2+h'(y)
e igualamos a N(x,y)=2xy-4x^2, obtendo h'(y)=0. Logo h(y)=C.

Passo 4

A condição geral implícita é
xy^2-4x^2y=C
Usando y(1)=3 temos
1cdot3^2-4cdot1^2cdot3=Cimplies 9-12=Cimplies C=-3
Assim a solução implícita é
xy^2-4x^2y=-3

Passo 5

Para obter y(x) explicitamente, tratamos como equação quadrática em y:
x y^2-4x^2y+3=0
Pela fórmula de Bhaskara:
y=4xpmraiz(4x)^2-4,x,32x=2xpmraiz4x^2-3x
Como y(1)=3 exige o sinal positivo, escolhemos o “+”.

Resposta

A solução que satisfaz y(1)=3 é
y(x)=2x+raiz4x^2-3x(x>0)

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