Para a equação y^prime=3 y(2-y)(5-y), determine suas soluções de equilíbrio e discuta a estabilidade de cada uma. Se a condição inicial for y(1)=3, qual é o comportamento da solução quando t tende a +infty ?

Passo 1

O enunciado pede para a equação diferencial autônoma de primeira ordem y'=3y(2-y)(5-y) que a) encontremos os pontos de equilíbrio (soluções constantes) e b) analisemos a estabilidade de cada um, usando análise de sinal de f(y)=3y(2-y)(5-y). Em seguida, com a condição inicial y(1)=3, queremos saber para onde y(t) converge quando ,\n– estudar o sinal de tto+inftyPara isso vamos precisar de:n identificar raízes de (f(y) em cada intervalo para julgar estabilidade,\n– usar isso para prever o comportamento da solução iniciada em f(y).

Passo 2

Para achar as soluções de equilíbrio basta resolver f(y)=3y(2-y)(5-y)=0. Assim as raízes são os valores de y que aniquilam um dos fatores. Logo temos três equilíbrios: y=0, y=2 e y=5.

Passo 3

Agora fazemos análise de sinal de f(y) nos intervalos determinados pelos equilíbrios para ver o sentido do fluxo e a estabilidade:
Intervalo y<0: y negativo ⇒ y<0 tem y<0, 2-y>0, 5-y>0 ⇒ produto negativo ⇒ y'<0 (fluxo para a esquerda).
0<y<2: y>0, 2-y>0, 5-y>0 ⇒ y'>0 (fluxo para a direita).
2<y<5: y>0, 2-y<0, 5-y>0 ⇒ y'<0 (fluxo para a esquerda).
y>5: y>0, 2-y<0, 5-y<0 ⇒ dois fatores negativos ⇒ produto positivo ⇒ y'>0 (fluxo para a direita).

Passo 4

Com essa tabela de sinais vemos que:
– Em y=0 o fluxo vem de cima ( y'<0 se y<0) e sai para cima ( y'>0 se 0), então é ponto de equilíbrio instável.
– Em y=2 o fluxo entra por ambos os lados ( y'>0 em 0 e y'<0 em 2), logo é estável.
– Em y=5 o fluxo sai para fora ( y'<0 se 2 e y'>0 se y>5), logo é instável.

Passo 5

Por fim, com a condição inicial y(1)=3, estamos no intervalo 2. Nesse intervalo vimos que y'<0, ou seja, y(t) decresce até se aproximar de y=2. Portanto, quando tto+infty, y(t) tende ao equilíbrio estável em y=2.

Resposta

Quando t→+∞, y(t)→2.

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