Para a equação
, determine suas soluções de equilíbrio e discuta a estabilidade de cada uma. Se a condição inicial for
, qual é o comportamento da solução quando
tende a
?
Passo 1
O enunciado pede para a equação diferencial autônoma de primeira ordem
que a) encontremos os pontos de equilíbrio (soluções constantes) e b) analisemos a estabilidade de cada um, usando análise de sinal de
. Em seguida, com a condição inicial
, queremos saber para onde
converge quando ,\n– estudar o sinal de
em cada intervalo para julgar estabilidade,\n– usar isso para prever o comportamento da solução iniciada em
.
Passo 2
Para achar as soluções de equilíbrio basta resolver
. Assim as raízes são os valores de
que aniquilam um dos fatores. Logo temos três equilíbrios:
,
e
.
Passo 3
Agora fazemos análise de sinal de
nos intervalos determinados pelos equilíbrios para ver o sentido do fluxo e a estabilidade:
Intervalo y<0: y negativo ⇒
tem
,
,
⇒ produto negativo ⇒
(fluxo para a esquerda).
0<y<2: y>0, 2-y>0, 5-y>0 ⇒
(fluxo para a direita).
2<y<5: y>0, 2-y<0, 5-y>0 ⇒
(fluxo para a esquerda).
y>5: y>0, 2-y<0, 5-y<0 ⇒ dois fatores negativos ⇒ produto positivo ⇒
(fluxo para a direita).
Passo 4
Com essa tabela de sinais vemos que:
– Em o fluxo vem de cima (
se
) e sai para cima (
se
), então é ponto de equilíbrio instável.
– Em o fluxo entra por ambos os lados (
em
e
em
), logo é estável.
– Em o fluxo sai para fora (
se
e
se
), logo é instável.
– Em
– Em
– Em
Passo 5
Por fim, com a condição inicial
, estamos no intervalo
. Nesse intervalo vimos que
, ou seja,
decresce até se aproximar de
. Portanto, quando
,
tende ao equilíbrio estável em
.
Resposta
Quando t→+∞, y(t)→2.