Considere a equação da difusão (2
partial cpartial t=D partial^2 cpartial^2 x
Lei de Fick) em uma dimensão
Mostre que
c(x, t)=alpha t^-1 / 2 e^-beta x^2
é uma solução da equação da difusão, com
alpha=N2 raizD pi
e
beta=14 D t

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
c(x,t)=alpha,t^-1/2,e^-beta x^2
satisfaz a equação da difusão unidimensional
partial cpartial t=D,partial^2cpartial x^2
desde que
alpha=N2raizDpi e beta=14Dt
Vamos usar derivadas parciais, a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Calculemos primeiro partial c/partial t. Como
c(x,t)=alpha,t^-1/2,e^-beta x^2,
temos duas dependências em t: em t^-1/2 e em beta(t)=1/(4Dt). Assim
partial cpartial t =alphapartialpartial tl(t^-1/2r),e^-beta x^2 +alpha,t^-1/2partialpartial tl(e^-beta x^2r)
Usando ddt(t^-1/2)=-tfrac12,t^-3/2 e
partialpartial tl(e^-beta x^2r) =e^-beta x^2l(-x^2r)dbetadt com dbetadt=-14D,t^2,
obtemos
partial cpartial t =alpha,e^-beta x^2l(-tfrac12,t^-3/2 +;x^2,t^-1/2,14D,t^2r) =alpha,e^-beta x^2l(-tfrac12,t^-3/2 +;x^24D,t^-5/2r)

Passo 3

Agora calculamos partial^2c/partial x^2. Primeiro
partial cpartial x =alpha,t^-1/2,l(-2beta xr),e^-beta x^2
e depois
partial^2cpartial x^2 =alpha,t^-1/2,l(4beta^2x^2-2betar),e^-beta x^2
Multiplicando por D,
Dpartial^2cpartial x^2 =alpha,t^-1/2,e^-beta x^2 l(4Dbeta^2x^2-2Dbetar)
Como beta=1/(4Dt), temos
4Dbeta^2x^2 =x^24D,t^2, 2Dbeta=12t,
logo
Dpartial^2cpartial x^2 =alpha,e^-beta x^2l(x^24D,t^-5/2 -tfrac12,t^-3/2r)

Passo 4

Comparando os resultados de partial c/partial t e de
D,partial^2c/partial x^2, vemos que ambos são
alpha,e^-beta x^2l(-tfrac12,t^-3/2 +x^24D,t^-5/2r)
Portanto
partial cpartial t =D,partial^2cpartial x^2,
ou seja, a função dada satisfaz mesmo a equação da difusão.

Resposta

A substituição direta das derivadas parciais mostra que
partial cpartial t =D,partial^2cpartial x^2
sempre que
alpha=tfracN2raizDpi e beta=tfrac14Dt,
logo c(x,t) é solução da equação de difusão.

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