Considere a equação da difusão (2
Lei de Fick) em uma dimensão
Mostre que
é uma solução da equação da difusão, com
e
Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
satisfaz a equação da difusão unidimensional
desde que
Vamos usar derivadas parciais, a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Calculemos primeiro
. Como
temos duas dependências em
: em
e em
. Assim
Usando
e
obtemos
Passo 3
Agora calculamos
. Primeiro
e depois
Multiplicando por
,
Como
, temos
logo
Passo 4
Comparando os resultados de
e de
, vemos que ambos são
Portanto
ou seja, a função dada satisfaz mesmo a equação da difusão.
Resposta
A substituição direta das derivadas parciais mostra que
sempre que
e
,
logo é solução da equação de difusão.
logo