Considere a equação da elipse no caso onde
e multiplique ambos os lados por
. Em seguida, abra os quadrados e rearrume os termos para mostrar que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, estamos trabalhando com a equação da elipse, que é uma das figuras da Geometria Analítica. A questão pede para ajustar a equação da elipse quando $ y_0 = 0 $, multiplicando ambos os lados por $ (a b)^2 $, expandindo os quadrados e rearranjando os termos para chegar na forma final apresentada. Para isso, vamos precisar entender como manipular a equação da elipse e realizar operações algébricas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação padrão da elipse. Quando o centro da elipse está na origem ($ h = 0 $ e $ k = 0 $) e o eixo maior está no eixo $ x $, a equação é:
Aqui, $ a $ é o semi-eixo maior e $ b $ é o semi-eixo menor da elipse.
Passo 3
Segundo, conforme o enunciado, estamos considerando o caso onde $ y_0 = 0 $. Isso provavelmente se refere a um ponto específico na elipse onde a coordenada $ y $ é zero. Vamos manter isso em mente, mas a equação geral da elipse permanece a mesma.
Passo 4
Agora, o próximo passo é multiplicar ambos os lados da equação da elipse por $ (a b)^2 $. Vamos fazer isso:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
Agora, vamos distribuir $ (a b)^2 $ no lado esquerdo da equação:
Simplificando cada termo:
Passo 6
Em seguida, vamos rearranjar os termos para agrupar os $ x $ e $ y $. Queremos expressar a equação de forma a isolar $ a2(x2 + y^2) $ no lado esquerdo. Vamos fazer isso:
Podemos reescrever $ a^2 y^2 $ como $ a^2 (x^2 + y^2 - x^2) $:
Simplificando:
Passo 7
Agora, combinamos os termos com $ x^2 $:
Adicionamos $ 2 b^2 x_0 x $ ao lado esquerdo para equilibrar a equação, assumindo que $ x_0 $ é uma constante relacionada à posição na elipse:
Resposta
Assim, mostramos que: