Em cada um dos itens abaixo, calcule a solução geral do sistema de equações.
$x^{\prime}=\left( cc1 & 1 4 & -2\right) x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear
x' = A,x,
onde
A = 1 & 1 [6pt]4 & -2
O conteúdo que vamos usar é o método de autovalores e autovetores: primeiro encontramos os autovalores de A pela equação característica, depois os autovetores correspondentes, e por fim montamos a solução geral como combinação linear de modos exponenciais.]

Passo 2

Calculemos o polinômio característico de A:
det(A - lambda I) = det1-lambda & 1 [4pt]4 & -2-lambda = (1-lambda)(-2-lambda) - 4cdot1
Expandindo,
(1-lambda)(-2-lambda) - 4 = -2 -lambda +2lambda +lambda^2 -4 = lambda^2 +lambda -6
Logo, a equação lambda^2 +lambda -6=0 tem raízes
lambda1,2 = -1 pm raiz1 +242 = -1 pm 52,
isto é,
lambda1 = 2, lambda2 = -3 ]

Passo 3

Agora achamos os autovetores.
Para lambda1=2, resolvemos (A - 2I)v = 0:
1-2 & 1 [4pt]4 & -2-2 v = -1 & 1 [4pt]4 & -4 v1 [3pt]v2 = 0 ;Longrightarrow; -v1 + v2 = 0 ;Longrightarrow; v2 = v1
Podemos escolher
v^(1) = 1 [3pt]1
Para lambda2=-3, resolvemos (A + 3I)v = 0:
1+3 & 1 [4pt]4 & -2+3 v = 4 & 1 [4pt]4 & 1 v1 [3pt]v2 = 0 ;Longrightarrow; 4v1 + v2 = 0 ;Longrightarrow; v2 = -4v1
Podemos escolher
v^(2) = 1 [3pt]-4 ]

Passo 4

A solução geral do sistema é dada pela combinação linear dos modos exponenciais associados a cada autovalor:
x(t) = C1,e^lambda1 t,v^(1) + C2,e^lambda2 t,v^(2),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

x(t) = C1,e^2t 1 [3pt]1 + C2,e^-3t 1 [3pt]-4 ]

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