Considere a equação de Euler
. Encontre condições sobre
e
para que:
(d) Todas as soluções permaneçam limitadas quando
. Res:
e
, ou
e
.
(d) Todas as soluções permaneçam limitadas quando
Passo 1
O exercício pede condições em
e
para que todas as soluções da equação de Euler
permaneçam limitadas quando
. O conteúdo é a equação de Euler-Cauchy, e vamos precisar usar o ansatz
para gerar a equação característica e então analisar o comportamento de
no infinito.
Passo 2
Assumindo
, calculamos
e
. Substituindo na equação de Euler, obtemos a equação característica:
que simplifica para
Passo 3
As raízes dessa equação são
Passo 4
Para que
permaneça limitada quando
, precisamos de
. Se
, temos decaimento; se
e raízes distintas ou complexas não repetidas, a solução é oscilatória ou constante. A exceção é raiz dupla
, que gera termo
, não limitado.
Passo 5
Analisando os casos:
• : então
. Há decaimento assintótico, mas se
as raízes são reais e de sinais opostos (produto
), uma delas positiva, causando divergência. Logo, em
precisamos de
.
• : a equação se torna
, ou seja
. Essas raízes complexas têm parte real zero, gerando soluções da forma
e
, que são limitadas se
. Para
temos raiz dupla
e termo
divergente.
• : então
inevitavelmente e as soluções divergem.
•
•
•
Passo 6
Combinando, as condições para todas as soluções serem limitadas são
e
, ou
e
.
Resposta
Para todas as soluções ficarem limitadas em
: