Considere a equação de Euler x^2 y^prime prime+alpha x y^prime+beta y=0. Encontre condições sobre alpha e beta para que:
(d) Todas as soluções permaneçam limitadas quando x infty. Res: alpha>1 e beta >= 0, ou alpha=1 e beta>0.

Passo 1

O exercício pede condições em alpha e beta para que todas as soluções da equação de Euler x^2y''+alpha x y'+beta y=0 permaneçam limitadas quando xtoinfty. O conteúdo é a equação de Euler-Cauchy, e vamos precisar usar o ansatz y=x^m para gerar a equação característica e então analisar o comportamento de x^m no infinito.

Passo 2

Assumindo y=x^m, calculamos y'=m x^m-1 e y''=m(m-1)x^m-2. Substituindo na equação de Euler, obtemos a equação característica:
m(m-1)+alpha m+beta=0
que simplifica para
m^2+(alpha-1)m+beta=0

Passo 3

As raízes dessa equação são
m1,2=-(alpha-1)pmraiz(alpha-1)^2-4beta2

Passo 4

Para que y=x^m permaneça limitada quando xtoinfty, precisamos de Re(m)<=0. Se Re(m)<0, temos decaimento; se Re(m)=0 e raízes distintas ou complexas não repetidas, a solução é oscilatória ou constante. A exceção é raiz dupla m=0, que gera termo ln x, não limitado.

Passo 5

Analisando os casos:
alpha>1: então Re(m)=-(alpha-1)/2<0. Há decaimento assintótico, mas se beta<0 as raízes são reais e de sinais opostos (produto m1m2=beta<0), uma delas positiva, causando divergência. Logo, em alpha>1 precisamos de beta>=0.
alpha=1: a equação se torna m^2+beta=0, ou seja m=pm iraizbeta. Essas raízes complexas têm parte real zero, gerando soluções da forma cos(raizbetaln x) e sin(raizbetaln x), que são limitadas se beta>0. Para beta=0 temos raiz dupla m=0 e termo ln x divergente.
alpha<1: então Re(m)>0 inevitavelmente e as soluções divergem.

Passo 6

Combinando, as condições para todas as soluções serem limitadas são
alpha>1 e beta>=0, ou alpha=1 e beta>0.

Resposta

Para todas as soluções ficarem limitadas em xtoinfty:
alpha>1 e beta>=0, ou alpha=1 e beta>0.

Exercícios relacionados