ointC tan zz d z, C:|z-1|=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de contorno: ointC tan zz , dz, onde C é o círculo definido por |z - 1| = 2. Estamos trabalhando com Análise Complexa, mais especificamente com Integrais de Contorno e o Teorema dos Resíduos. Para resolver isso, vamos precisar identificar os pontos onde a função tan zz tem singularidades dentro do contorno C e então calcular os resíduos nesses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as singularidades da função tan zz. Sabemos que tan z = sin zcos z, então tan z terá singularidades onde cos z = 0. Além disso, temos a divisão por z, então também temos uma singularidade em z = 0.

Passo 3

Agora, vamos determinar quais dessas singularidades estão dentro do nosso contorno C, que é o círculo |z - 1| = 2. Isso significa que estamos considerando todos os pontos z cuja distância até 1 no plano complexo é menor que 2.
  • A singularidade em z = 0: |0 - 1| = 1, que é menor que 2. Então, está dentro de C.
  • Singularidades de tan z: São as soluções de cos z = 0, ou seja, z = pi2 + kpi, onde k é qualquer inteiro.
Vamos verificar quais desses valores de z estão dentro de |z - 1| = 2:
  • Para k = 0: z = pi2 approx 1.57. |1.57 - 1| approx 0.57 < 2. Está dentro.
  • Para k = 1: z = 3pi2 approx 4.71. |4.71 - 1| approx 3.71 > 2. Fora.
  • Para k = -1: z = -pi2 approx -1.57. |-1.57 - 1| approx 2.57 > 2. Fora.
Então, as únicas singularidades dentro de C são z = 0 e z = pi2.

Passo 4

Vamos calcular os resíduos nessas singularidades.
  1. Residuo em z = 0:
    A função é tan zz. Para z to 0, podemos expandir tan z em série de Taylor:
    tan z = z + z^33 + 2z^515 + dots
    Então,
    tan zz = 1 + z^23 + 2z^415 + dots
    O coeficiente de 1(z - 0)^1 é zero, então o resíduo em z = 0 é 0.
  2. Residuo em z = pi2:
    Aqui, cos z = 0, então tan z tem um polo simples. O resíduo de tan zz em z = pi2 pode ser calculado usando:
    Res(tan zz, pi2) = limz to pi2 (z - pi2) tan zz
    Sabemos que próximo de z = pi2,
    tan z approx 1z - pi2
    Então,
    Res = limz to pi2 z - pi2z (z - pi2) = 1pi2 = 2pi

Passo 5

Agora, aplicamos o Teorema dos Resíduos, que nos diz que:
ointC f(z) , dz = 2pi i times sum Res(f, zk)
Onde zk são as singularidades dentro de C.
Temos:
sum Res(tan zz, zk) = 0 + 2pi = 2pi
Portanto,
ointC tan zz , dz = 2pi i times 2pi = 4i

Resposta

A integral ointC tan zz , dz é igual a 4i.

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