Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de contorno:
, onde
é o círculo definido por
. Estamos trabalhando com Análise Complexa, mais especificamente com Integrais de Contorno e o Teorema dos Resíduos. Para resolver isso, vamos precisar identificar os pontos onde a função
tem singularidades dentro do contorno
e então calcular os resíduos nesses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as singularidades da função
. Sabemos que
, então
terá singularidades onde
. Além disso, temos a divisão por
, então também temos uma singularidade em
.
Passo 3
Agora, vamos determinar quais dessas singularidades estão dentro do nosso contorno
, que é o círculo
. Isso significa que estamos considerando todos os pontos
cuja distância até
no plano complexo é menor que
.
- A singularidade em
: , que é menor que . Então, está dentro de . - Singularidades de
: São as soluções de , ou seja, , onde é qualquer inteiro.
Vamos verificar quais desses valores de
estão dentro de
:
- Para
: . . Está dentro. - Para
: . . Fora. - Para
: . . Fora.
Então, as únicas singularidades dentro de
são
e
.
Passo 4
Vamos calcular os resíduos nessas singularidades.
-
Residuo em
:
A função é. Para , podemos expandir em série de Taylor: Então,O coeficiente deé zero, então o resíduo em é 0. -
Residuo em
:
Aqui,, então tem um polo simples. O resíduo de em pode ser calculado usando: Sabemos que próximo de, Então,
Passo 5
Agora, aplicamos o Teorema dos Resíduos, que nos diz que:
Onde
são as singularidades dentro de
.
Temos:
Portanto,
Resposta
A integral
é igual a
.