Determine a equação geral e esboce o gráfico da cônica dada. Inclua no esboço informações relevantes como o(s) foco(s), o vértice ou centro, o(s) eixo(s) e a reta diretriz no caso da parábola.
4(y-1)^29-4(x-3)^227=1;

Passo 1

O enunciado pede para identificarmos a equação geral e esboçar a cônica definida por tfrac4(y-1)^29-tfrac4(x-3)^227=1. O conteúdo aqui é hipérbole em geometria analítica e vamos precisar achar o centro, os valores de a, b, os vértices, os focos, as assíntotas e depois expandir para a forma geral.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão de hipérbole. Podemos escrever
(y-1)^294 - (x-3)^2274 = 1

Passo 3

Comparando com (y-k)^2a^2-(x-h)^2b^2=1, vemos que o eixo transverso é vertical, com
a^2=94, b^2=274

Passo 4

Assim o centro é (h,k)=(3,1). Os comprimentos dos semi-eixos são
a=32, b=3raiz32

Passo 5

Para achar vértices e focos calculamos c via c^2=a^2+b^2:
c^2=94+274=9Rightarrow c=3

Passo 6

Os vértices ficam em
(3,1pm a)=(3,1pmtfrac32)longrightarrow(3,2,5) e (3,-0,5),
e os focos em
(3,1pm c)=(3,1pm3)longrightarrow(3,4) e (3,-2)

Passo 7

Agora expandimos a forma inicial para obter a equação geral. Multiplicando por 27:
12(y-1)^2-4(x-3)^2=27

Passo 8

Expandindo e rearranjando, chega-se a
4x^2-12y^2-24x+24y+51=0

Passo 9

Por fim, as assíntotas de uma hipérbole vertical são dadas por
y-1=pmab(x-3)=pm1raiz3(x-3)

Passo 10

Para esboçar, marcamos o centro (3,1), desenhamos os vértices (3,2,5) e (3,-0,5), os focos (3,4) e (3,-2), traçamos as assíntotas y-1=pmtfrac1raiz3(x-3) e escorregamos a curva em duas folhas abrindo para cima e para baixo.

Resposta

A equação geral é
4x^2-12y^2-24x+24y+51=0
A hipérbole tem centro em (3,1), vértices em (3,2,5) e (3,-0,5), focos em (3,4) e (3,-2), e assíntotas
y-1=pmtfrac1raiz3(x-3)

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