Determine a equação geral e esboce o gráfico da cônica dada. Inclua no esboço informações relevantes como o(s) foco(s), o vértice ou centro, o(s) eixo(s) e a reta diretriz no caso da parábola.
;
Passo 1
O enunciado pede para identificarmos a equação geral e esboçar a cônica definida por
. O conteúdo aqui é hipérbole em geometria analítica e vamos precisar achar o centro, os valores de
,
, os vértices, os focos, as assíntotas e depois expandir para a forma geral.
Passo 2
Primeiro colocamos a equação na forma padrão de hipérbole. Podemos escrever
Passo 3
Comparando com
, vemos que o eixo transverso é vertical, com
Passo 4
Assim o centro é
. Os comprimentos dos semi-eixos são
Passo 5
Para achar vértices e focos calculamos
via
:
Passo 6
Os vértices ficam em
e os focos em
Passo 7
Agora expandimos a forma inicial para obter a equação geral. Multiplicando por 27:
Passo 8
Expandindo e rearranjando, chega-se a
Passo 9
Por fim, as assíntotas de uma hipérbole vertical são dadas por
Passo 10
Para esboçar, marcamos o centro
, desenhamos os vértices
e
, os focos
e
, traçamos as assíntotas
e escorregamos a curva em duas folhas abrindo para cima e para baixo.
Resposta
A equação geral é
A hipérbole tem centro em