A equação
(1-x^2) y^prime prime-2 x y^prime+alpha(alpha+1) y=0
onde alpha é uma constante maior que -1 , e conhecida como equação de Legendre. Esta equação é extremamente importante em física matemática, aparecendo em muitos problemas tridimensionais com simetria esférica - e.g. esfera eletricamente carregada, solução do átomo de hidrogênio, campo gravitacional exterior a uma estrela, etc.
(e) Os polinômios de Legendre Pn(x) são definidos como sendo a solução polinomial da equação de Legendre com alpha=n que satisfaz a condição Pn(1)=1. Usando os resultados dos dois itens anteriores encontre P0(x), P1(x), P2(x), P3(x), P4(x) e P5(x) Res: P0(x)=1, P1(x)=x, P2(x)=(3 x^2-1) / 2, P3(x)=(5 x^3-3 x) / 2, P4(x)=(35 x^4-30 x^2+3) / 8 e P5(x)=(63 x^5-70 x^3+15 x) / 8.

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos encontrar os polinômios de Legendre Pn(x) para n=0,1,2,3,4,5. Esses polinômios são soluções polinomiais da equação de Legendre com alpha=n que satisfazem Pn(1)=1. O conteúdo aqui é polinômios de Legendre e especificamente a relação de recorrência que permite gerar Pn+1(x) a partir de Pn(x) e Pn-1(x).

Passo 2

Relação de recorrência e condições iniciais: para os polinômios de Legendre vale
(n+1)Pn+1(x) = (2n+1)xPn(x) - n,Pn-1(x),
com as condições iniciais P0(x)=1 e P1(x)=x, garantindo que Pn(1)=1.

Passo 3

Cálculo de P2(x): aplicando a recorrência para n=1,
2,P2(x) = 3x,P1(x) - 1,P0(x) = 3x^2 - 1,
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P2(x) = 3x^2 - 12

Passo 4

Cálculo de P3(x): usando n=2,
3,P3(x) = 5x,P2(x) - 2,P1(x) = 5x3x^2-12 - 2x = 15x^3 -5x -4x2 = 15x^3 -9x2,
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P3(x) = 5x^3 - 3x2

Passo 5

Cálculo de P4(x): para n=3,
4,P4(x) = 7x,P3(x) - 3,P2(x) = 7x5x^3-3x2 - 33x^2-12 = 35x^4 -21x^2 -9x^2 +32 = 35x^4 -30x^2 +32,
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P4(x) = 35x^4 -30x^2 +38

Passo 6

Cálculo de P5(x): para n=4,
5,P5(x) = 9x,P4(x) - 4,P3(x) = 9x35x^4 -30x^2 +38 - 45x^3-3x2,
fazendo os cálculos e simplificando obtemos
P5(x) = 63x^5 -70x^3 +15x8

Resposta

P_0(x) = 1
P_1(x) = x
P_2(x) = \frac{3x^2 - 1}{2}
P_3(x) = \frac{5x^3 - 3x}{2}
P_4(x) = \frac{35x^4 - 30x^2 + 3}{8}
P_5(x) = \frac{63x^5 - 70x^3 + 15x}{8}

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