A equação
onde
é uma constante maior que -1 , e conhecida como equação de Legendre. Esta equação é extremamente importante em física matemática, aparecendo em muitos problemas tridimensionais com simetria esférica - e.g. esfera eletricamente carregada, solução do átomo de hidrogênio, campo gravitacional exterior a uma estrela, etc.
(e) Os polinômios de Legendre
são definidos como sendo a solução polinomial da equação de Legendre com
que satisfaz a condição
. Usando os resultados dos dois itens anteriores encontre
e
Res:
,
.
(e) Os polinômios de Legendre
Passo 1
Resumo do enunciado: precisamos encontrar os polinômios de Legendre
para
. Esses polinômios são soluções polinomiais da equação de Legendre com
que satisfazem
. O conteúdo aqui é polinômios de Legendre e especificamente a relação de recorrência que permite gerar
a partir de
e
.
Passo 2
Relação de recorrência e condições iniciais: para os polinômios de Legendre vale
com as condições iniciais
Passo 3
Cálculo de
: aplicando a recorrência para
,
logo
Passo 4
Cálculo de
: usando
,
logo
Passo 5
Cálculo de
: para
,
logo
Passo 6
Cálculo de
: para
,
fazendo os cálculos e simplificando obtemos
Resposta
P_0(x) = 1
P_1(x) = x
P_2(x) = \frac{3x^2 - 1}{2}
P_3(x) = \frac{5x^3 - 3x}{2}
P_4(x) = \frac{35x^4 - 30x^2 + 3}{8}
P_5(x) = \frac{63x^5 - 70x^3 + 15x}{8}
P_1(x) = x
P_2(x) = \frac{3x^2 - 1}{2}
P_3(x) = \frac{5x^3 - 3x}{2}
P_4(x) = \frac{35x^4 - 30x^2 + 3}{8}
P_5(x) = \frac{63x^5 - 70x^3 + 15x}{8}