Encontre os valores máximos e mínimos globais def no intervalo dado:
f(x)=x-3 ln (x) no intervalo [1,4]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos globais da função f(x)=x-3ln(x) no intervalo [1,4]. O conteúdo é cálculo de derivadas para achar pontos críticos e depois comparar valores em pontos críticos e nas bordas.

Passo 2

Vamos calcular a derivada de f(x). Como a derivada de x é 1 e de ln(x) é 1/x, temos:
f'(x)=1-3cdot1x=1-3x

Passo 3

Para achar pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
1-3x=0
Isso implica
x=3
Como 3 está em [1,4], vamos avaliá-lo.

Passo 4

Agora avaliamos f em x=1, x=3 e x=4:
f(1)=1-3ln(1)=1-0=1,
f(3)=3-3ln(3),
f(4)=4-3ln(4)

Passo 5

Para decidir máximo e mínimo, comparamos os valores. Em aproximações: ln(3)approx1,0986 e ln(4)approx1,3863, então
f(3)approx-0,2958,
f(4)approx-0,1589
Desses, o maior é 1 (em x=1) e o menor é 3-3ln(3) (em x=3).

Resposta

O valor máximo global é 1 em x=1 e o valor mínimo global é 3−3\ln(3) em x=3.

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