Considere a equação de Euler
onde
e
são constantes reais.
Para
e
e
, temos
Determine a solução da equação.
Para
Passo 1
O enunciado pede pra resolver a equação de Euler 2x²y’’ + 3x y’ – y = 0 no domínio x>0, usando α=3 e β=–1. O conteúdo envolve equações de Euler e a técnica de assumir uma solução da forma y = x^m.
Passo 2
Para equações de Euler, a gente tenta y = x^m. Assim, y’ = m x^{m-1} e y’’ = m(m–1)x^{m-2}.
Passo 3
Substituindo na equação 2x²y’’+3x y’–y=0 obtemos
Fatorando x^m (que nunca é zero para x>0) sobra a equação característica
Passo 4
Resolvendo essa equação quadrática para m:
Passo 5
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é
Resposta
y = C_1 x^{1/2} + C_2 x^{-1}