Considere a equação de Euler
x^2 y^prime prime+alpha x y^prime+beta y=0
onde alpha e beta são constantes reais.
Para alpha=3 e beta=-1 e x>0, temos
2 x^2 y^prime prime+3 x y^prime-y=0
Determine a solução da equação.

Passo 1

O enunciado pede pra resolver a equação de Euler 2x²y’’ + 3x y’ – y = 0 no domínio x>0, usando α=3 e β=–1. O conteúdo envolve equações de Euler e a técnica de assumir uma solução da forma y = x^m.

Passo 2

Para equações de Euler, a gente tenta y = x^m. Assim, y’ = m x^{m-1} e y’’ = m(m–1)x^{m-2}.

Passo 3

Substituindo na equação 2x²y’’+3x y’–y=0 obtemos
2x^2l(m(m-1)x^m-2r)+3xl(m x^m-1r)-x^m=0
Fatorando x^m (que nunca é zero para x>0) sobra a equação característica
2m(m-1)+3m-1=0que simplifica para
2m^2 + m - 1 = 0

Passo 4

Resolvendo essa equação quadrática para m:
m = -1 pm raiz1 + 84 = -1 pm 34,logo m_1 = 1/2 e m_2 = -1.

Passo 5

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é
y = C1 x^1/2 + C2 x^-1,com C_1 e C_2 constantes arbitrárias.

Resposta

y = C_1 x^{1/2} + C_2 x^{-1}

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