Considere a equação de Hermite
y^prime prime-2 x y^prime+lambda y=0 -infty
onde lambda é constante.
O polinômio de Hermite a Hn(x) é definido como a solução polinomial da equação de Hermite com lambda=2^n para os quais o coeficiente de x^n é 2^n. Encontre H0(x), ldots, H5(x).

Passo 1

O enunciado apresenta a equação de Hermite y'' - 2x y' + lambda y = 0 e define o polinômio de Hermite Hn(x) como a solução polinomial para lambda = 2n cujo coeficiente líder é 2^n. Precisamos encontrar H0, H1, dots, H5.

Passo 2

Para polinômios de Hermite vale a relação de recorrência
Hn+1(x) = 2x Hn(x) - 2n Hn-1(x)
com as condições iniciais H0(x)=1 e H1(x)=2x.

Passo 3

Das condições iniciais já temos
H0(x) = 1
H1(x) = 2x .

Passo 4

Aplicando a recorrência para n=1 obtemos
H2(x) = 2x H1(x) - 2cdot1,H0(x) = 2xcdot(2x) - 2 = 4x^2 - 2 .

Passo 5

Para n=2 a recorrência dá
H3(x) = 2x H2(x) - 2cdot2,H1(x) = 2x(4x^2 - 2) - 4(2x) = 8x^3 - 12x .

Passo 6

Para n=3
H4(x) = 2x H3(x) - 2cdot3,H2(x) = 2x(8x^3 - 12x) - 6(4x^2 - 2) = 16x^4 - 48x^2 + 12 .

Passo 7

Por fim, para n=4
H5(x) = 2x H4(x) - 2cdot4,H3(x) = 2x(16x^4 - 48x^2 + 12) - 8(8x^3 - 12x) = 32x^5 - 160x^3 + 120x .

Resposta

H0(x) = 1, H1(x) = 2x, H2(x) = 4x^2 - 2, H3(x) = 8x^3 - 12x, H4(x) = 16x^4 - 48x^2 + 12, H5(x) = 32x^5 - 160x^3 + 120x

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